Combinación de variables aleatorias

Solución determinista

Uno de los ejercicios más habituales por su sencillez es encontrar simplemente un valor determinista (un estadístico) para la combinación de variables. El estadístico buscado podría ser la media, el valor más probable (la moda) o incluso la mediana, aunque en el caso de variables aleatorias normales estos tres coinciden.

Para un conjunto de variables normales la solución determinista buscada es aquélla que minimiza ​distacia de Mahalanobis) a las medias de las distribuciones a priori de las variables aleatorias.

Formalmente la solución sería un conjunto de variables aleatorias restringidas al espacio de soluciones y cuya distribución de probabilidad está condicionada a las distribuciones de partida o a priori.

Merece la pena mencionar que la solución determinista encontrada al minimizar la distancia de Mahalanobis para un conjunto de variables aleatorias normales coincide con las medias de las distribuciones a posteriori de estas variables aleatorias.

Sea la combinación de variables aleatorias:

V ~ Normal(Mu, Sigma)
F(V) = 0

la solución determinista buscada Z minimiza la distancia:

distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Z)'·Sigma**-1·(Mu-Z))

donde V representa al conjunto de variables aleatorias, Mu sus medias y Sigma su matriz de covarianza, F(V)=0 son las restricciones sobre V, y Z es el valor determinista buscado de la solución completa de la combinación.

Solución para algunos casos de combinación de variables aleatorias

• Combinación lineal de variables aleatorias normales
• Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales
• Combinación de variables aleatorias separable