Combinación de variables aleatorias

Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales

Anteriormente (véase Combinación lineal de variables aleatorias normales) encontramos la solución determinista para una combinación lineal de variables aleatorias normales:

V ~ Normal(Mu, Sigma)
B · V = C

minimizando la distancia de Mahalanobis de la solución al vector de medias:

Z = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)

Hay una situación más general que ésta que admite una solución similar.

Se trata del caso, más general, en el que la familia de variables aleatorias se pueda expresar como una transformación de variables aleatorias normales,

T(V) ~ Normal(Mu, Sigma)
B · V = C

donde T es una transformación inversible de las variables aleatorias.

A esta nueva familia de variables aleatorias la podemos denominar trans-normales en analogía al nombre que reciben cuando la transformación es el logaritmo: log-normales.

Para el caso de la combinación lineal de variables trans-normales, podemos encontrar la solución determinista que minimiza la distancia de Mahalanobis en el espacio transformado:

distM(T(Z), Mu; Sigma) = Sqrt((T(Z)-Mu)'·Sigma**-1·(T(Z)-Mu))

replanteando el problema como:

W ~ Normal(Mu, Sigma)
B · S(W) = C

donde S=inv(T) es la transformación inversa de T.

La solución Y=T(Z) al nuevo problema sobre variables normales puede obtenerse mediante la resolución de la equción matricial no-lineal siguiente:

Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )

con:

M(Y) = D[S(Y)]·Sigma·D[S(y)]'

donde D[S(Y)] es la matriz de derivadas de S en Y:

D[S(Y)] = d/d[Y] · S(Y)'

cuyo elemento i,j es:

D[S(Y)]_i,j = d[S(Y)_i]/dY_j

Nótese que la ecuación:

Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )

coincide con la encontrada anteriormente cuando la transformación es la identidad:

T(U) = U
S(W) = W
M(Y) = Sigma

En general la ecuación no puede obtenerse analíticamente aunque puede resolverse numéricamente de manera recursiva en pocas iteraciones utilizando como solución inicial el vector de medias:

Y_0 = Mu
Y_(n+1) = T( S(Mu) + M(Y_n)·B'·Inv[B·M(Y_n)·B']·(C-B·S(Mu)) )

Nota: Es necesario intentar demostrar o comprobar esto de manera inequívoca