Combinación de variables aleatorias

Combinación lineal de variables aleatorias normales

Un caso particular y especialmente común de la combinación de variables aleatorias es aquél en el que la restricción viene dada por un sistema de ecuaciones lineales. Este sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.

Sea V un conjunto de n variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:

V ~ Normal(Mu, Sigma)

donde Mu (nx1) es el vector de medias y Sigma (nxn) su matriz de covarianza, y

B · V = C

un sistema de m restricciones lineales sobre las variables, donde B (mxn) es la matriz del sistema lineal y C (mx1) es su término constante.

El objetivo es encontrar la solución Z que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector de medias:

min. distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt[(Z-Mu)'·Inv[Sigma]·(Z-Mu)]

Solución determinista

Para una combinación lineal de variables aleatorias normales V la solución determinista Z que representa a las medias de la distribución a posteriori se obtiene como aquella solución:

B · Z = C

que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector de medias:

min. dist_M(Z, V) = Sqrt((Z-Mu)'·inv(Sigma)·(Z-Mu))

Para resolverlo planteamos el problema mediante el método de los ​multiplicadores de Lagrange:

min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Inv(Sigma)·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 

donde L(Z, Lambda) es la función de Lagrange y Lambda (mx1) el vector de multiplicadores de Lagrange.

Derivando respecto a Z y Lambda obtenemos:

d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0

que es la restricción lineal sobre las variables y

d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0

Si despejamos Lambda de la segunda ecuación usando la primera:

2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)

y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando Z encontramos:

Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)

Para ver algunos resultados utilizados en los cálculos véanse las siguientes notas matemáticas.

Solución completa

La solución de una combinación lineal de variables aleatorias normales es un nuevo conjunto de variables aleatorias normales:

W ~ Normal(Nu, Omega)

cuya media Nu viene dada por el resultado encontrado anteriormente conocido como solución determinista:

Nu = Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·(C-B·Mu)

Para la obtención de la matriz covarianza de la distribución a posteriori W, debemos detenernos en la ecuación anterior y observar que la solución es una combinación lineal de las variables de partida V:

W = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·V + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C

cuya media Nu es:

Nu = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C

y cuya matriz de covarianza Omega puede obtenerse mediante:

Omega = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B) · Sigma · (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)'