Combinación de variables aleatorias

Combinación de variables aleatorias separable

En general el problema de encontrar una solución determinista para una combinación de variables aleatorias no puede resolverse mediante un algoritmo de optimización.

Sin embargo hay un caso particular, que denominaremos combinación separable y que se encuentra a menudo en modelación, que sí puede resolverse.

Sea V un conjunto de n variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:

V ~ Normal(Mu, Sigma)

donde Mu (nx1) es el vector de medias y Sigma (nxn) su matriz de covarianza, y sea

F(V1) = V2

una restricción separable, donde V1 (n1x1) y V2 (n2x1) son dos subconjuntos complementarios de V (n=n1+n2x1):

V' = (V1', V2')

La condición de encontrar el valor Z que minimice la distancia:

distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt((Z-Mu)'·Inv(Sigma)·(Z-Mu))

sujeta a las restricciones anteriores puede escribirse como la minimización de una función de Z1 no restringida:

min. (Mu-Z(Z1))'·Inv(Sigma)·(Mu-Z(Z1))

donde:

Z(Z1)' = (Z1', F(Z1)') 

Una vez encontrado el valor de Z1 que minimiza la distancia, el valor de las variables separadas Z2 se obtiene mediante la ecuación de la restricción:

Z2 = F(Z1)

Resolución numérica

La combinación separable puede resolverse mediante un algoritmo de optimización. La resolución implementada en SADD utiliza el algoritmo de Marquardt para minimizar el producto

min. Fun(Z1)'·Fun(Z1) 

donde: Fun(Z1) = Inv(L)·(Mu-Z(Z1)) y L procede de la descomposición de la matriz de covarianzas: Sigma = L·L'.

Combinación lineal de variables aleatorias separable

Un caso muy común de combinación separable es aquel en el que la restricción es lineal pudiéndose escribir de la forma:

V ~ Normal(Mu, Sigma)
A·V1 + B = V2

donde V'=(V1,V2)' es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos V1 (n1x1) y V2 (n2x1) y A (n1xn1) y B (n1x1) son las matrices de la restricción lineal. Nótese que el número de variables separadas V2 es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices A y B).