Combinación de variables aleatorias

Combinación lineal de variables aleatorias normales

A continuación deducimos la solución determinista a la combinación lineal de variables aleatorias normales.

Sea V un conjunto de n variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:

V ~ Normal(Mu, Sigma)

donde Mu (nx1) es el vector de medias y Sigma (nxn) su matriz de covarianza, y

B · V = C

un sistema de m restricciones lineales sobre las variables, donde B (mxn) es la matriz del sistema lineal y C (mx1) es su término constante.

El objetivo es encontrar la solución Z que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector de medias:

min. distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt[(Z-Mu)'·Inv[Sigma]·(Z-Mu)]

Solucionamos el problema mediante el método de los ​multiplicadores de Lagrange:

min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 

donde L(Z, Lambda) es la función de Lagrange y Lambda (mx1) el vector de multiplicadores de Lagrange.

Derivando respecto a Z y Lambda obtenemos:

d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0

que es la restricción lineal sobre las variables y

d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0

Si despejamos Lambda de la segunda ecuación usando la primera:

2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)

y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando Z encontramos:

Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)

Para ver algunos resultados utilizados en los cálculos véanse las siguientes notas matemáticas.