Combinación de variables aleatorias

Notas Matemáticas

Derivación con matrices

A lo largo de las operaciones utilizadas en la documentación se han hecho uso de algunos resultados de derivación matricial como:

d[X']/d[X] = I
d[A'·X]/d[X] = d[X'·A]/d[X] = A
d[X'·X]/d[X] = 2 X
d[X'·B·X]/d[X] = (B+B')·X =(si B es simétrica)= 2 B·X

donde X y A son matrices columna, B es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad.

Para obtener estos resultados puede hacerse la siguiente consideración:

d[f(X)]/d[X] = d/d[X] · f[X]

donde la derivada se puede ver como un producto matricial entre un operador columna de derivadas:

d/d[X] = (d/dx1, d/dx2, ..., d/dxn)'

y la matriz a derivar.

Operaciones con varibles aleatorias normalmente distribuidas

En algunas ecuaciones y cálculos se han utilizado las siguientes relaciones:

fNormal(mu, sigma, x+b) == fNormal(mu-b, sigma, x) 
fNormal(mu, sigma, -x) == fNormal(-mu, sigma, x) 
fNormal(mu, sigma, a*x) == fNormal(mu/a, sigma/a, x)/a ; con a>0 

donde:

fNormal(mu, sigma, x) := 1/(Sqrt(2*Pi)*Sigma) * Exp(-(1/2)*((x-mu)/sigma)**2) 

y también el siguiente resultado que nos permite multiplicar dos funciones de densidad normales:

fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x) == 
fNormal((muA*sigmaB**2 + muB*sigmaA**2)/sigmaAB**2, sigmaA*sigmaB/sigmaAB, x) * fNormal(muA-muB, sigmaAB, 0) 

donde:

sigmaAB = Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)