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Apr 13, 2010, 8:33:55 AM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

--

Decompositions

@@ -1 @@
-= Descomposición canónica y DueTos =
+= Descomposiciones aditivas y DueTo's =
+
+A menudo, a partir de los resultados de la estimación de un submodelo
+(modelo de observaciones) se quiere obtener una descomposición
+de la variable observada como la suma de un conjunto de contribuciones.
+
+Esta descomposición aditiva se obtiene de un modo sencillo para los
+modelos aditivos (transformación identidad). Sin embargo para los
+modelos multiplicativos (transformación logarítmica) esta descomposición
+requiere de un mecanismo de descomposición particular.
+
+Aún más, dada una descomposición del submodelo, a menudo se desean
+construir otras descomposiciones, agregando temporalmente las variables
+o realizando un informe de DueTo's.
+
+A continuación describimos los distintos métodos para obtener descomposiciones
+y cómo éstos puede ser combinados para obtener el informa de resultados deseado.
 
 == Descomposición natural ==
 
-En el marco de la definición de un modelo regresivo
-unos datos (el output) vienen dados como la suma
-de unos efectos aditivos (relativos a los inputs)
-más una componente de error (el noise).
-Esta componente del ruido contiene el efecto residual 
-o efecto no explicado, junto a la componente debida
-a la estructura del ruido en el caso de los modelos ARIMA
-que puede representar un valor de referencia, una tendencia 
-y unos ciclos.
-
-De modo que el modelo:
-{{{
- output = Suma(parámetros*inputs) + noise
-}}}
-se puede escribir como una descomposición:
-{{{
- output = Suma(efectos) + ef.noise
-}}}
-
-La componente del error se considera valor base, 
-de modo que podemos escribir la ecuación:
-{{{
- output = base* + Suma(efectos)
-}}}
-En el caso de existir extructura ARIMA, el noise se podría
-subdividir en dos: una componente base pura (con el efecto 
-del valor de referencia, tendencia o ciclos) y una componente residual, quedando:
-
- output = base + Suma(efectos) + ef.residual
-
-donde: {{{base = noise - residual y ef.residual = residual}}}.
-
-== Descomposición DueTo ==
-
-Los informes DueTo, pretenden comparar dos instantes
-de una serie output, generalmente separados por la 
-periodicidad del modelo.
-La descomposición se hace refiriendo los valores de
-un instante a los de otro anterior, del modo siguiente:
-{{{
- output_0 = base_0 + Suma(efectos_0) + ef.residual_0
- output_1 = base_1 + Suma(efectos_1) + ef.residual_1
-}}}
-{{{
- output_1 = output_0 + Dif:base + Sum(Dif:efectos) + Dif:ef.residual
-}}}
-donde: {{{Dif:x = x_1 - x_0}}}
-
-Esta descomposición, puede expresarse en porcentaje respecto a output_0 como:
-{{{
- Dif:output/output_0 % = Dif:base/output_0 % + 
-   Sub(Dif:efectos/output_0 %) + Dif:resid/output_0 %
-}}}
-
-== Descomposición Canónica ==
+En el marco de la definición de un modelo regresivo, unos datos (el output) 
+vienen dados como la suma de unos efectos aditivos (relativos a los términos
+explicativos) más una componente de error (el noise).
+Esta componente del ruido contiene el efecto residual o efecto no explicado, 
+junto a la estructura del ruido, que en el caso de los modelos ARIMA
+puede representar un valor de referencia, una tendencia y unos ciclos.
+
+De este modo, el submodelo o modelo de observaciones se puede escribir
+como una descomposición de la forma:
+{{{
+output = noise + Sum(exp.terms)
+}}}
+
+=== Descomposición simple ===
+
+La descomposición más simple que podemos hacer de un modelo de observaciones
+es aquélla en la que el output se describe como la suma de dos sumandos,
+la componente del ruido (noise) y la suma de los efectos aditivos (filter):
+{{{
+output = noise + filter
+}}}
+
+=== Descomposiciones personalizadas ===
+
+Agrupando los sumandos de acuerdo a un determinado criterio, podemos obtener
+descomposiciones personalizadas.
+
+=== Otras descomposiciones ===
+
+Si hacemos uso del concepto de residuos (residuals) podemos crear otras
+descomposiciones diviendo la componente de error en una componente
+residual y una componente predictiva:
+{{{
+noise = noise.prediction + residuals
+}}}
+De este modo podemos encontrar descomposiciones como ésta:
+{{{
+output = noise.prediction + filter + residuals = prediction + residuals
+}}}
+
+== Descomposición aditiva de submodelos multiplicativos ==
 
 A menudo, para evitar la heterocedasticidad del error, o simplemente
 por la propia naturaleza del modelo, se introduce una transformación
-del output, convirtiendo la descomposición del output en una descomposición 
+en la variable observada para construir el output.
+
+En estas circunstancias el output y las observaciones (observations)
+no coinciden:
+{{{
+output = Transformation(observations)
+}}}
+y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural)
+no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición 
+de la variable observada (u observaciones) en una descomposición 
 no aditiva (multiplicativa en el caso de la transformación logarítmica).
 
-En esos casos, la descomposición aditiva del output ya no es natural,
-y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla.
-
-Cómo el caso más común es la transformación logarítmica, nos centraremos
-en ésta, aunque los conceptos son aplicables a cualquier transformación.
-{{{
-output = Log(observation) = Suma(parámetros*inputs) + noise
-}}}
-
-
-
-
+En estos casos, la descomposición aditiva de las observaciones
+ya no es trivial, y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla.
+
+El caso más común es la transformación logarítmica, y nos referiremos 
+a ésta por comodidad, aunque los conceptos son aplicables a cualquier 
+transformación.
+{{{
+output = Log(observations) = noise + Suma(exp.terms) 
+}}}
+
+=== Descomposición secuencial ===
+
+Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición
+aditiva de las observaciones introduciendo uno a uno los sumandos
+y determinando el efecto aditivo que les corresponde.
+
+Sea una descomposición (ordenada) del output:
+{{{
+output = Sum(contributions)
+}}}
+podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una
+suma de efectos de las contribuciones (effects):
+{{{
+observations = Transformation.Inverse(output) = Sum(effects)
+}}}
+de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea:
+{{{
+effect.sequential_i = Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i)) 
+                    - Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i-1))
+}}}
+
+A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición secuencial"
+ya que depende del orden de las contribuciones de la descomposición de partida
+(descomposición del output).
+
+=== Descomposición canónica ===
+
+Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone
+con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre
+el conjunto de premutaciones de las contribuciones:
+{{{
+effect.canonical_i = < effect.sequential_i >_permutations
+}}}
+
+=== Descomposiciones inexactas ===
+
+Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir
+un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución
+como si fuera la primera:
+{{{
+effect.firstIn_i = Transformation.Inverse(contribution_i) 
+}}}
+Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta
+dejando una diferencia conocida como sinergía:
+{{{
+synergy = observations - Sum(effects.firstIn)
+}}}
+
+Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos
+tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última):
+{{{
+effect.marginal_i = observations - Transformation.Inverse(output-contribution_i) 
+}}}
+Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales"
+presenta sinergía:
+{{{
+synergy = observations - Sum(effects.marginal)
+}}}
+
+=== Descomposiciones mixtas ===
+
+Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas
+dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente.
+
+Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una
+contribución principal (que habitualmente recoge la mayor parte de la descomposición)
+y sobre la que se quieren referir los efectos de las demás contribuciones.
+El efecto de esta contribución principal (conocida como base) se determina como si 
+fuese una contribución primera, y el resto de contribuciones se calculan mediante
+otra descomposición (normalmente una libre de sinergía como la descomposición canónica).
+
+Sea una descomposición (con contribución principal) del output:
+{{{
+output = base + Sum(contributions)
+}}}
+la descomposición de las observaciones:
+{{{
+observations = effect.base + Sum(effects)
+}}}
+vendrá dada por:
+{{{
+effect.base =  Transformation.Inverse(base) 
+}}}
+y los efectos obtenidos sobre una descomposición de las contribuciones restantes:
+{{{
+(output-base) = Sum(contributions)
+}}}
+
+== Descomposición DueTo ==
+
+Los informes o descomposiciones DueTo, pretenden comparar dos instantes
+de las observaciones, generalmente correlativos.
+
+La descomposición se hace refiriendo los valores de un instante a los de 
+otro anterior, del modo siguiente:
+{{{
+observations_0 = Sum(effects_0)
+observations_1 = Sum(effects_1)
+}}}
+{{{
+observations_1 = observations_0 + Sum(Dif:effects)
+}}}
+donde: {{{Dif:x = x_1 - x_0}}}
+
+O utilizando polinomios de retardos:
+{{{
+observations = B:observations + Sum((1-B):effects)
+}}}
+
+=== Informe de DueTo porcentual ===
+
+Una descomposición DueTo puede expresarse en porcentajes respecto al
+valor anterior como:
+{{{
+ (1-B):observations/B:observations % = Sub((1-B):effects/B:observations %)
+}}}
+
+=== Cambio del dominio temporal de una descomposición ===
+
+Sin embargo, en modelos con estacionalidades, el interés suele estar
+en comparar los valores correspondientes a dos ciclos o periodos correlativos
+y no a dos instantes correlativos.
+
+Para conseguir obtener un descomposición DueTo sobre los valores correspondientes
+a estos ciclos o periodos es necesario hacer un cambio previo del dominio temporal
+de la descomposición.
+
+=== Otras descomposiciones DueTo ===
+
+Además de hacer una descomposición de las observaciones comparándolas
+con un instante anterior, podemos obtener otras descomposiciones
+comparando cada contribución con su valor inicial o su valor medio:
+{{{
+observations = S:observations + Sum((1-S):effects)
+}}}
+donde {{{S}}} sea sería un estadístico sobre la serie
+como su primer valor o su valor medio.
+
+
+
+