Combinaciones de variables aleatorias

Introducción

Uno de los principales objetivos de la modelación es la obtención de previsiones para las variables modeladas. Estas previsiones se presentan como variables aleatorias que ofrecen una cierta distribución de probabilidad sobre los posibles valores futuros de las variables.

En ocasiones disponemos de previsiones sobre un conjunto de variables que no son independientes entres sí, teniéndose que verificar una cierta relación entre ellas. Al ejercicio de encontrar un nuevo conjunto de previsiones sujeto a esta relación y basado en las previsiones originales se le conoce como combinación de previsiones.

Definición

Combinación lineal de variables aleatorias

Las combinaciones de previsiones, y en general de variables aleatorias, se definen como un sistema de ecuaciones lineales (generalmente indeterminado) sobre un conjunto de variables aleatorias (o previsiones) para las que se dispone información a priori sobre su distribución.

El sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.

Comúnmente la solución de la combinación se plantea como aquélla que satisfaciendo el sistema de ecuaciones es más cercana (según la ​distacia de Mahalanobis) a las medias a priori de las variables aleatorias.

Formalmente la solución sería un conjunto de variables aleatorias restringida al espacio de soluciones y cuya distribución de probabilidad está condicionada a las distribuciones de partida o a priori.

(¡VERIFICAR QUE ESTO ES CIERTO!) Merece la pena mencionar que la solución determinista encontrada al minimizar la distancia de Mahalanobis coincide con la solución formada por las medias de estas distribuciones a posteriori de las variables aleatorias.

A continuación planteamos el ejercicio de combinaciones más simple que podemos imaginar y que puede sernos útil para aclarar conceptos y para encontrar algunos resultados que pueden extenderse a combinaciones más complejas.

Igualdad de variables aleatorias

Igualdad de variables aleatorias

Combinación de variables con una sóla ecuación lineal

Combinación de variables con una sóla ecuación lineal

Nota matemática

En las ecuaciones y cálculos anteriores se han utilizado las siguientes relaciones:

fNormal(mu, sigma, x+b) == fNormal(mu-b, sigma, x)
fNormal(mu, sigma, -x) == fNormal(-mu, sigma, x)
fNormal(mu, sigma, a*x) == fNormal(mu/a, sigma/a, x)/a ; con a>0

donde:

fNormal(mu, sigma, x) := 1/(Sqrt(2*Pi)*Sigma) * Exp(-(1/2)*((x-mu)/sigma)**2)

y también el siguiente resultado que nos permite multiplicar dos funciones de densidad normales:

fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x) ==
fNormal((muA*sigmaB**2 + muB*sigmaA**2)/sigmaAB**2, sigmaA*sigmaB/sigmaAB, x) * fNormal(muA-muB, sigmaAB, 0)

donde:

sigmaAB = Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)