Combinación de variables aleatorias

Igualdad de variables aleatorias

El ejercicio más simple (no trivial) que podemos imaginar es aquel formado por dos variables aleatorias (de tipo real) que siguen sendas distribuciones normales (e independientes) sujeta a la restricción de ser iguales.

Dadas vA y vB (variables a priori):

vA ~ N(muA, sigmaA)
vB ~ N(muB, sigmaB)

encontrar las wA y wB (variables a posteriori) que satisfagan:

wA == wB

Solución determinista

El método utilizado para encontrar la solución determinista (no como variables aleatorias) del sistema es reducir la ​distacia de Mahalanobis de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):

Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma2**-1·(Z-Mu))

donde Z y Mu son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:

Z' = (zA, zB)
Mu' = (muA, muB)
Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))

La solución de minimizar la distancia:

Dist(Mu, Sigma2, Z)

sujeta al sistema de ecuaciones:

B·Z == C

viene dada por:

Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu

En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:

B = (1, -1)
C = (0)

de modo que la solución encontrada es:

zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)

y simplificando:

z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)

Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas de las varianzas de los valores muA y muB:

z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)

Solución como variables aleatorias

Planteamos ahora la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.

Dada que la combinación es una igualdad entre dos variables aleatorias, la solución encontrada para una será también la de la otra y la correlación entre ellas será 1.

La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones: una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones y el resto de información a priori.

En este caso sencillo podríamos escribir la función de densidad a posteriori de la variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (wA==wB) que no es otra que la función de densidad a priori de la varible B (fvB):

fwA(x) = k * fvA(x) * fvB(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x)

Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:

wA ~ N(muAB, sigmaAB)

con los siguientes parámetros:

muAB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
sigmaAB = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)

De modo que la solución a la combinación será:

w = wA = wB ~ N(muAB, sigmaAB)

En modo matricial podemos representarlo como:

Mu_W' = (muAB, muAB)
Sigma2_W = ((sigmaAB, sigmaAB), (sigmaAB, sigmaAB))

Nótese que esta solución nos ofrece como valores medios y también como valores más probables (modas) la solución obtenida minimizando la distancia de Mahalanobis.

Para ver algunos resultados utilizados en los cálculos véanse las siguientes notas matemáticas.