Changes between Version 3 and Version 4 of Combinations/LinearNormalSolution

Timestamp:

Sep 17, 2010, 5:14:33 PM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

--

Combinations/LinearNormalSolution

@@ -4 +4 @@
 == Combinación lineal de variables aleatorias normales ==
 
-A continuación deducimos la [wiki:Combinations/DeterministicSolution solución determinista] 
-a la combinación lineal de variables aleatorias normales.
+
+Un caso particular y especialmente común de la combinación de variables aleatorias es aquél 
+en el que la restricción viene dada por un sistema de ecuaciones lineales. 
+Este sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, 
+dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.
 
 Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
@@ -24 +27 @@
 }}}
 
-Solucionamos el problema mediante el método de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
+=== Solución determinista ===
+
+Para una combinación lineal de variables aleatorias normales {{{V}}} la solución determinista {{{Z}}} 
+que representa a las medias de la distribución a posteriori se obtiene como aquella solución:
+{{{
+B · Z = C
+}}}
+que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector de medias:
+{{{
+min. dist_M(Z, V) = Sqrt((Z-Mu)'·inv(Sigma)·(Z-Mu))
+}}}
+
+Para resolverlo planteamos el problema mediante el método de los 
+[http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
 {{{
 min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
@@ -53 +69 @@
 Para ver algunos resultados utilizados en los cálculos véanse las siguientes
 [wiki:Combinations/MathNotes#Derivaci%C3%B3nconmatrices notas matemáticas].
+
+=== Solución completa ===
+La solución de una combinación lineal de variables aleatorias normales es un nuevo conjunto de variables aleatorias normales:
+{{{
+W ~ Normal(Nu, Omega)
+}}}
+cuya media {{{Nu}}} viene dada por el resultado encontrado anteriormente conocido como solución determinista:
+{{{
+Nu = Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·(C-B·Mu)
+}}}
+Para la obtención de la matriz covarianza de la distribución a posteriori {{{W}}}, debemos detenernos en la 
+ecuación anterior y observar que la solución es una combinación lineal de las variables de partida {{{V}}}:
+{{{
+W = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·V + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C
+}}}
+cuya media {{{Nu}}} es:
+{{{
+Nu = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C
+}}}
+y cuya matriz de covarianza {{{Omega}}} puede obtenerse mediante:
+{{{
+Omega = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B) · Sigma · (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)'
+}}}