Filtros no lineales

Filtros no lineales en los términos explicativos

Denominamos filtro de un término explicativo a la parte que es multiplicada por el parámetro lineal.

ExpTerm = Parameter * Filter

No ha de condundirse con el filtro de un submodelo, que es la suma de todos los términos explicativos:

Output = Sum(ExpTerms) + Noise = Filter + Noise

En el caso de un término explicativo multilineal (con varios parámetros lineales) como es el caso de los términos omega, el filtro coincide coincide con aquel (no retardado) que estaría multiplicado por el parámetro de grado 0.

En los términos explicativos lineales (o multilineales), el filtro coincide con el input, de modo que:

ExpTerm.Linear = Parameter.Linear * Input

ExpTerm.Omega = TransferFuncion(Parameters.Linear) : Input

En general denominamos filtro no lineal a aquel filtro dependiente de uno nuevos parámetros (denominados parámetros no lineales) que representa una relación no lineal con el input.

Nótese que si no intervienen nuevos parámetros (no lineales) no podemos hablar propiamente de un filtro no lineal, ya que el input transformado podría considerarse el input:

ExpTerm = Parameter * Function(Input1) = Parameter * Input2

En general, describimos un término explicativo no lineal como un término multilineal sobre un filtro no lineal, con uno o varios parámetros no lineales y uno o varios inputs:

ExpTerm.NonLinear = TransferFuncion(Parameters.Linear) : Filter(Parameters.NonLinear, Inputs)

Filtro delta

El filtro no lineal más común utilizado en el análisis de series temporales es aquél que se expresa mediante la relación:

Filter.Delta = (1-delta)/(1-delta*B) : Input

Nótese que lo hemos definido con una transferencia del input con ganancia unitaria.

Al tratarse de una integración el filtro necesita de una nueva constante de integración o inicialización del filtro, de modo que:

Filter_t - delta*Filter_{t-1} = (1-delta)*Input_t  ,,  Para todo t <: Dominio(Input)

Sea cual sea el dominio del input si denominamos Input_1 al primer valor, es necesario conocer el parámetro de incialización Filter_0. El resto de valores de Filter_t se determinan por recurrencia mediante:

Filter_t = (1-delta)*Input_t + delta * Filter_{t-1}  ,,  Para todo t <: Dominio(Input) = [1,T]

La aparición de este parámetro extra, a menudo no se considera, y esto puede ser acertado en algunas circuntancias:

• (i) que el input sea realmente cero en los valores del input anteriores al primer valor conocido, o
• (ii) que el primer valor conocido esté suficientemente lejos del comienzo del output analizado.

En estos casos el valor inicial del filtro puede considerarse 0. En el primero (i) porque realmente lo es y en el segundo (ii) porque la elección de este valor inicial no llega a alterar los valores del filtro utilizados en el análisis (suficientemente alejados).

Así, el filtro delta, se caracteriza en general por depender de dos parámetros no lineales:

• el parámetro delta, llamado así (al igual que el filtro) porque se utiliza comúnmente esta letra para representarlo y
• el parámetro de inicialización del filtro.

Si representamos y denominamos al parámetro de inicialización del filtro con la letra épsilon, podemos escribir:

Filter.Delta(delta, epsilon; Input) = (1-delta)/(1-delta*B) |_epsilon : Input 

A menudo se confunde la necesidad de conocer un primer valor del filtro (Filter_0) con conocer un valor del input anterior al primer valor conocido (Input_0). Hay que tener cuidado y no caer en esta confusión.

Filtro delta-0

Denominamos filtro delta-0 (delta-cero) a aquella variante del filtro delta cuyo parámetro de incialización se considera fijo e igual a 0.

Esta variante del filtro se caracteriza pues por tener sólo un parámetro: el parámetro delta.

Filter.Delta0(delta; Input) = Filter.Delta(delta, 0; Input) = (1-delta)/(1-delta*B) |_0 : Input

Filtro delta estacional. Filtro s-delta

...