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Timestamp:

Jun 12, 2012, 1:18:20 PM (13 years ago)

Author:

Claudia Escalonilla

Comment:

--

Decompositions_DecoAdditive

@@ +1 @@
+{{{
+#!div style="width:50%; margin-left:20%; padding-left:2em; padding-right:2em"
+
 = Descomposiciones Aditivas de Modelos Multiplicativos =
+
+
+A menudo, para evitar la heterocedasticidad del error, o simplemente
+por la propia naturaleza del modelo, se introduce una transformación
+en la variable observada para construir el output.
+
+En estas circunstancias el output y las observaciones (observations)
+no coinciden:
+
+   [[LatexEquation(Output = Transformation(Observations)=T(Observations) )]]
+
+y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural)
+no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición 
+de la variable observada (u observaciones) en una descomposición 
+no aditiva (multiplicativa en el caso de la transformación logarítmica).
+
+En estos casos, la descomposición aditiva de las observaciones
+ya no es trivial, y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla.
+
+El caso más común es la transformación logarítmica, aunque los conceptos 
+son aplicables a cualquier transformación.
+
+   [[LatexEquation(Output = Log(Observations) = Noise + \sum_{i} Exp.Term_i)]]
+
+
+== -- Descomposición ordenada ==
+
+Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición
+aditiva de las observaciones introduciendo uno a uno los sumandos
+y determinando el efecto aditivo que les corresponde.
+
+Sea una descomposición del output:
+
+   [[LatexEquation(Output = \sum_{i} Cont_i)]]
+
+donde  [[LatexEquation(Cont_i)]] representa la contribución i del  [[LatexEquation(Exp.Term_i)]] al output.
+
+podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una
+suma de efectos de las contribuciones (effects):
+
+[[LatexEquation(Observations = Transformation.Inverse(Output) = T^{-1}(Observarion) = \sum_{i}Effect_i)]]
+
+de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea:
+
+[[LatexEquation(Effect.Ordered_i = T^{-1}(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(\sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
+
+A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición ordenada"
+ya que depende del orden de las contribuciones de la descomposición de partida
+(descomposición del output).
+
+== -- Efecto inicial de la transformación ==
+
+En la descripción anterior hemos pasado por alto las consecuencias de
+que la transformación inversa de 0 (el elemento neutro en la adición)
+no sea 0: 
+   [[LatexEquation(T^{-1}(0) \neq 0)]]
+
+
+En este caso es necesario introducir un término de efectos adicional [[LatexEquation(Effect_0)]] en la descomposición:
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0))]]
+
+quedando:
+
+   [[LatexEquation(Observations = Effect_0 + \sum_{i=1}^{N}Effect_i )]]
+
+
+Para entender el significado de este effecto inicial, debemos prestar
+atención a la naturaleza de este valor.
+Sin embargo podemos imaginar que este valor corresponde con un valor
+base o valor de referencia de la transformación.
+
+'''CASO 1'''
+
+Imaginemos un caso de transformación bastante sencillo, consistente en:
+
+   [[LatexEquation(T(x) = x - x_0)]]
+
+En este caso el efecto inicial causado por la transformación es:
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = x_0)]]
+
+que no hace más que introducir en la descomposición el valor de referencia
+sustraido en la transformación.
+
+'''CASO 2'''
+
+Imaginemos ahora un de los casos más comunes: una transformación logarítmica:
+
+   [[LatexEquation(T(x) = Log(x))]]
+
+En este caso el efecto inicial causado por el logaritmo es:
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = Exp(0) = 1)]]
+
+de modo que la primera contribución será:
+
+   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(Cont_1) - Exp(0))]]
+
+Esta expressión puede verse como:
+
+   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(0) * ( Exp(Cont_1) -1) \sim Exp(0) * Cont_1)]]
+
+e interpretar que el effecto inicial es un valor base sobre el que se
+calculan el efecto de las demás contribuciones.
+
+Por ello, habitualmente, en caso de existir este valor inicial se recoge
+en una primera contribución o contribución principal conocida como base.
+
+Véanse más adelante las "Descomposiciones base".
+
+== -- Descomposición canónica ==
+
+Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone
+con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre
+el conjunto de permutaciones de las contribuciones:
+
+[[LatexEquation(Effect.Canonical_i = \frac {\sum_{P} Effect.Ordered_i} {Card(P)})]]
+
+donde [[LatexEquation(P)]] es el conjunto de las permutaciones de N elementos (N efectos) y [[LatexEquation(Card(P))]] es el cardinal de ese conjunto.
+Es decir, es una media de todos los valores que toma el efecto i en cada permutación.
+
+
+== -- Descomposiciones inexactas ==
+
+=== * Descomposición FirstIn (o de contribuciones primeras) ===
+
+Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir
+un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución
+como si fuera la primera:
+
+   [[LatexEquation(Effect.FirstIn_i = T^{-1}(Cont_i))]]
+
+Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta
+dejando una diferencia conocida como sinergía:
+  
+   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.FirstIn_i)]]
+
+ 
+=== * Descomposición Marginal (o de contribuciones marginales) ===
+
+Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos
+tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última):
+
+   [[LatexEquation(Effect.Marginal_i = Observations - T^{-1}(Output - Cont_i))]]
+
+Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales"
+presenta sinergía:
+
+   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.Marginal_i)]]
+
+
+== -- Descomposiciones mixtas ==
+
+Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas
+dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente.
+
+== -- Descomposiciones base ==
+
+Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una
+contribución principal (que habitualmente recoge la mayor parte de la descomposición)
+y sobre la que se quieren referir los efectos de las demás contribuciones.
+
+El efecto de esta contribución principal (conocida como base) se determina como si 
+fuese una contribución primera, y el resto de contribuciones se calculan mediante
+otra descomposición (normalmente una libre de sinergía como la descomposición canónica).
+El efecto de esta contribución base asume además el valor del efecto inicial causado
+por la transformación (en caso de existir).
+
+Sea una descomposición (con contribución principal) del output:
+
+   [[LatexEquation(Output = Base + \sum_{i} Cont_i)]]
+
+la descomposición de las observaciones:
+
+   [[LatexEquation(Observations = Effect.Base + \sum_{i} Effect_i)]]
+
+vendrá dada por:
+
+   [[LatexEquation(Effect.Base = T^{-1}(Base))]]
+
+y los efectos obtenidos sobre la descomposición de las contribuciones 
+restantes considerando la base como contribución primera.
+
+Por ejemplo el efecto de las contribuciones ordenadas sería:
+
+[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
+
+que en el caso de una transformación logarítmica se puede escribir como:
+
+[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = Exp(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j) = )]]
+[[LatexEquation(= Exp(Base) * [Exp(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(\sum_{j=1}^{i-1} Cont_j)] = Effect.Base * Effect.Ordered_i)]]
+
+En el caso logarítmico este resultado es general y puede aplicarse a otras
+descomposiciones de las componentes restantes como una descomposición canónica:
+
+   [[LatexEquation(Effect.Base.Canonical_i = Effect.Base * Effect.Canonical_i)]]
+
+
+== -- Descomposiciones modificadas ==
+
+Algunas de las descomposiciones anteriores se caracterizan por presentar contribuciones
+adicionales como el efecto inicial de la transformación o la sinergía de la descomposición.
+
+Estas decomposiciones pueden modificarse, distribuyendo estas contribuciones entre el resto
+del siguiente modo:
+
+Sea una descomposición:
+
+   [[LatexEquation(Observation = \sum_{i} Effect_i = Effect.Extra)]]
+
+donde el efecto extraordinario    [[LatexEquation(Effect.Extra)]] corresponde el efecto 
+(o suma de efectos) que desea eliminarse.
+
+La nueva descomposición libre de efectos extraordinarios será:
+
+   [[LatexEquation(Observations = \sum_{i} Effect.Modified_i)]]
+
+donde cada effecto modificado tiene la forma:
+
+   [[LatexEquation(Effect.Modified_i = Effect_i *(\frac {Observations} {Observations - Effect.Extra}))]]
+
+}}}