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Jun 12, 2012, 1:37:34 PM (13 years ago)

Author:

Claudia Escalonilla

Comment:

--

Decompositions

@@ -68 +68 @@
 
 == Descomposición aditiva de modelos multiplicativos ==
+[wiki:Decompositions_DecoAdditive Descomposición Aditiva de modelos multiplicativos]
 
-A menudo, para evitar la heterocedasticidad del error, o simplemente
-por la propia naturaleza del modelo, se introduce una transformación
-en la variable observada para construir el output.
-
-En estas circunstancias el output y las observaciones (observations)
-no coinciden:
-
-   [[LatexEquation(Output = Transformation(Observations)=T(Observations) )]]
-
-y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural)
-no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición 
-de la variable observada (u observaciones) en una descomposición 
-no aditiva (multiplicativa en el caso de la transformación logarítmica).
-
-En estos casos, la descomposición aditiva de las observaciones
-ya no es trivial, y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla.
-
-El caso más común es la transformación logarítmica, aunque los conceptos 
-son aplicables a cualquier transformación.
-
-   [[LatexEquation(Output = Log(Observations) = Noise + \sum_{i} Exp.Term_i)]]
-
-
-=== -- Descomposición ordenada ===
-
-Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición
-aditiva de las observaciones introduciendo uno a uno los sumandos
-y determinando el efecto aditivo que les corresponde.
-
-Sea una descomposición del output:
-
-   [[LatexEquation(Output = \sum_{i} Cont_i)]]
-
-donde  [[LatexEquation(Cont_i)]] representa la contribución i del  [[LatexEquation(Exp.Term_i)]] al output.
-
-podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una
-suma de efectos de las contribuciones (effects):
-
-[[LatexEquation(Observations = Transformation.Inverse(Output) = T^{-1}(Observarion) = \sum_{i}Effect_i)]]
-
-de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea:
-
-[[LatexEquation(Effect.Ordered_i = T^{-1}(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(\sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
-
-A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición ordenada"
-ya que depende del orden de las contribuciones de la descomposición de partida
-(descomposición del output).
-
-=== -- Efecto inicial de la transformación ===
-
-En la descripción anterior hemos pasado por alto las consecuencias de
-que la transformación inversa de 0 (el elemento neutro en la adición)
-no sea 0: 
-   [[LatexEquation(T^{-1}(0) \neq 0)]]
-
-
-En este caso es necesario introducir un término de efectos adicional [[LatexEquation(Effect_0)]] en la descomposición:
-
-   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0))]]
-
-quedando:
-
-   [[LatexEquation(Observations = Effect_0 + \sum_{i=1}^{N}Effect_i )]]
-
-
-Para entender el significado de este effecto inicial, debemos prestar
-atención a la naturaleza de este valor.
-Sin embargo podemos imaginar que este valor corresponde con un valor
-base o valor de referencia de la transformación.
-
-'''CASO 1'''
-
-Imaginemos un caso de transformación bastante sencillo, consistente en:
-
-   [[LatexEquation(T(x) = x - x_0)]]
-
-En este caso el efecto inicial causado por la transformación es:
-
-   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = x_0)]]
-
-que no hace más que introducir en la descomposición el valor de referencia
-sustraido en la transformación.
-
-'''CASO 2'''
-
-Imaginemos ahora un de los casos más comunes: una transformación logarítmica:
-
-   [[LatexEquation(T(x) = Log(x))]]
-
-En este caso el efecto inicial causado por el logaritmo es:
-
-   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = Exp(0) = 1)]]
-
-de modo que la primera contribución será:
-
-   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(Cont_1) - Exp(0))]]
-
-Esta expressión puede verse como:
-
-   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(0) * ( Exp(Cont_1) -1) \sim Exp(0) * Cont_1)]]
-
-e interpretar que el effecto inicial es un valor base sobre el que se
-calculan el efecto de las demás contribuciones.
-
-Por ello, habitualmente, en caso de existir este valor inicial se recoge
-en una primera contribución o contribución principal conocida como base.
-
-Véanse más adelante las "Descomposiciones base".
-
-=== -- Descomposición canónica ===
-
-Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone
-con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre
-el conjunto de permutaciones de las contribuciones:
-
-[[LatexEquation(Effect.Canonical_i = \frac {\sum_{P} Effect.Ordered_i} {Card(P)})]]
-
-donde [[LatexEquation(P)]] es el conjunto de las permutaciones de N elementos (N efectos) y [[LatexEquation(Card(P))]] es el cardinal de ese conjunto.
-Es decir, es una media de todos los valores que toma el efecto i en cada permutación.
-
-
-=== -- Descomposiciones inexactas ===
-
-==== * Descomposición FirstIn (o de contribuciones primeras) ====
-
-Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir
-un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución
-como si fuera la primera:
-
-   [[LatexEquation(Effect.FirstIn_i = T^{-1}(Cont_i))]]
-
-Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta
-dejando una diferencia conocida como sinergía:
-  
-   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.FirstIn_i)]]
-
- 
-==== * Descomposición Marginal (o de contribuciones marginales) ====
-
-Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos
-tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última):
-
-   [[LatexEquation(Effect.Marginal_i = Observations - T^{-1}(Output - Cont_i))]]
-
-Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales"
-presenta sinergía:
-
-   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.Marginal_i)]]
-
-
-=== -- Descomposiciones mixtas ===
-
-Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas
-dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente.
-
-=== -- Descomposiciones base ===
-
-Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una
-contribución principal (que habitualmente recoge la mayor parte de la descomposición)
-y sobre la que se quieren referir los efectos de las demás contribuciones.
-
-El efecto de esta contribución principal (conocida como base) se determina como si 
-fuese una contribución primera, y el resto de contribuciones se calculan mediante
-otra descomposición (normalmente una libre de sinergía como la descomposición canónica).
-El efecto de esta contribución base asume además el valor del efecto inicial causado
-por la transformación (en caso de existir).
-
-Sea una descomposición (con contribución principal) del output:
-
-   [[LatexEquation(Output = Base + \sum_{i} Cont_i)]]
-
-la descomposición de las observaciones:
-
-   [[LatexEquation(Observations = Effect.Base + \sum_{i} Effect_i)]]
-
-vendrá dada por:
-
-   [[LatexEquation(Effect.Base = T^{-1}(Base))]]
-
-y los efectos obtenidos sobre la descomposición de las contribuciones 
-restantes considerando la base como contribución primera.
-
-Por ejemplo el efecto de las contribuciones ordenadas sería:
-
-[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
-
-que en el caso de una transformación logarítmica se puede escribir como:
-
-[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = Exp(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j) = )]]
-[[LatexEquation(= Exp(Base) * [Exp(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(\sum_{j=1}^{i-1} Cont_j)] = Effect.Base * Effect.Ordered_i)]]
-
-En el caso logarítmico este resultado es general y puede aplicarse a otras
-descomposiciones de las componentes restantes como una descomposición canónica:
-
-   [[LatexEquation(Effect.Base.Canonical_i = Effect.Base * Effect.Canonical_i)]]
-
-
-=== -- Descomposiciones modificadas ===
-
-Algunas de las descomposiciones anteriores se caracterizan por presentar contribuciones
-adicionales como el efecto inicial de la transformación o la sinergía de la descomposición.
-
-Estas decomposiciones pueden modificarse, distribuyendo estas contribuciones entre el resto
-del siguiente modo:
-
-Sea una descomposición:
-
-   [[LatexEquation(Observation = \sum_{i} Effect_i = Effect.Extra)]]
-
-donde el efecto extraordinario    [[LatexEquation(Effect.Extra)]] corresponde el efecto 
-(o suma de efectos) que desea eliminarse.
-
-La nueva descomposición libre de efectos extraordinarios será:
-
-   [[LatexEquation(Observations = \sum_{i} Effect.Modified_i)]]
-
-donde cada effecto modificado tiene la forma:
-
-   [[LatexEquation(Effect.Modified_i = Effect_i *(\frac {Observations} {Observations - Effect.Extra}))]]
 
 
 == Descomposición DueTo ==
-
-Los informes o descomposiciones DueTo, pretenden comparar dos instantes
-de las observaciones, generalmente correlativos.
-
-La descomposición se hace refiriendo los valores de un instante a los de 
-otro anterior, del modo siguiente:
-
-[[LatexEquation(Observations_0 = \sum_{i}Effect_{i0})]]
-[[LatexEquation(Observations_1 = \sum_{i}Effect_{i1})]]
-
-Entonces:
-
-[[LatexEquation(Observations_1 = Observations_0 + \sum_{i}(Effect_{i1} - Effect_{i0}))]]
+[wiki:Decompositions_DecoDueTo Descomposición Due To]
 
 
-O utilizando polinomios de retardos:
-
-[[LatexEquation(Observations = B:Observations + \sum_{i} (1-B):Effect_i)]]
-
-donde [[LatexEquation(B:X_i=X_{i-1})]]
-
-=== -- Informe de DueTo porcentual ===
-
-Una descomposición DueTo puede expresarse en porcentajes respecto al
-valor anterior como:
-  
-  [[LatexEquation(\frac{(1-B):Observations} {B:Observations} \% = \sum_{i}(\frac{(1-B):Effect_i} {B:Observations}) \%)]]
-
-que ésto es:
-
-  [[LatexEquation(\frac{ Obs_t - Obs_{t-1}} { Obs_{t-1} } \%= \sum_{i} \frac{Effect_{it} - Effect_{i(t-1)}} { Obs_{t-1} } \%)]]
-
-=== -- Cambio del dominio temporal de una descomposición ===
-
-Sin embargo, en modelos con estacionalidades, el interés suele estar
-en comparar los valores correspondientes a dos ciclos o periodos correlativos
-y no a dos instantes correlativos.
-
-Para conseguir obtener un descomposición DueTo sobre los valores correspondientes
-a estos ciclos o periodos es necesario hacer un cambio previo del dominio temporal
-de la descomposición.
-
-=== -- Otras descomposiciones DueTo ===
-
-Además de hacer una descomposición de las observaciones comparándolas
-con un instante anterior, podemos obtener otras descomposiciones
-comparando cada contribución con su valor inicial o su valor medio:
-
-   [[LatexEquation(Observations = S:Observations + \sum_{i} (1-S):Effect_i)]]
-
-donde [[LatexEquation(S)]] sea un estadístico sobre la serie
-como su primer valor o su valor medio.
-
 == Descomposición secuencial ==
-
-Un tipo de descomposición especial puede obtenerse a partir de una descomposición
-DueTo de las observaciones realizada directamente sobre una descomposición del output.
-En general las denominaremos descomposiciones DueTo generalizadas.
-
-Una descomposición DueTo generalizada muy particular es aquélla que nos permite
-utilizar las diferencias del modelo para obtener un descomposición DueTo.
-
-Sea una descomposición:
-
-   [[LatexEquation( Output = \sum_i Cont_i )]]
-
-procedente de un modelo en el que la diferencia del output se expresaba como:
-
-   [[LatexEquation(Dif:Output) = \sum_i Dif:Cont_i)]]
-
-donde el operador [[LatexEquation(Dif)]] expresa una diferencia entre un valor y otro anterior
-del siguiente modo:
-
-   [[LatexEquation(Dif = 1 - B^*)]]
-
-Podemos encontrar una descomposición DueTo de las observaciones
-
-   [[LatexEquation( Observations = B^*:Observations + \sum_i Dif:Effect_i)]] 
-
-sin necesidad de conocer explícitamente los efectos [[LatexEquation(Effect_i)]] del siguiente modo:
-
-   [[LatexEquation( Dif:Effect_i = Dif:Cont_i * \frac {Dif:Observations}{Dif:Output})]]
-
-
-Aún más, a partir de esta descomposición DueTo podemos encontrar una descomposición
-completa (sin diferencias) si conocemos determinados valores iniciales de esta descomposición.
-
-La descomposición resultante, conocida con el nombre de "descomposición secuencial":
-
-   [[LatexEquation( Observations = \sum_i Effect_i)]]
-
-vendrá dada por los efectos calculados a partir de las diferencias [[LatexEquation(Dif:Effect_i)]].
-
-La descomposición DueTo de partida es conocida como asimismo como "DueTo secuencial".
+[wiki:Decompositions_DecoSequential Descomposición Secuencial]
 
 == Ejercicios de descomposición ==