Changes between Version 13 and Version 14 of Decompositions

Timestamp:

Jun 11, 2012, 10:14:27 AM (13 years ago)

Author:

Claudia Escalonilla

Comment:

--

Decompositions

@@ +1 @@
+
+{{{
+#!div style="width:50%; margin-left:20%; padding-left:2em; padding-right:2em"
+
 = Descomposiciones aditivas y DueTo's =
 
@@ -28 +32 @@
 De este modo, el submodelo o modelo de observaciones se puede escribir
 como una descomposición de la forma:
-{{{
-output = noise + Sum(exp.terms)
-}}}
-
-=== Descomposición simple ===
+
+             [[LatexEquation( Output = \sum_{i} Exp.Term_i + Noise)]]
+
+
+  === -- Descomposición simple ===
 
 La descomposición más simple que podemos hacer de un modelo de observaciones
 es aquélla en la que el output se describe como la suma de dos sumandos,
 la componente del ruido (noise) y la suma de los efectos aditivos (filter):
-{{{
-output = noise + filter
-}}}
-
-=== Descomposiciones personalizadas ===
+
+     [[LatexEquation(Output = Noise + Filter)]]
+
+
+  === -- Descomposiciones personalizadas ===
 
 Agrupando los sumandos de acuerdo a un determinado criterio, podemos obtener
 descomposiciones personalizadas.
 
-=== Otras descomposiciones ===
+  === -- Otras descomposiciones ===
 
 Si hacemos uso del concepto de residuos (residuals) podemos crear otras
-descomposiciones separando la componente de error en una componente
-residual y una componente predictiva:
-{{{
-noise = noise.prediction + residuals
-}}}
+descomposiciones separando la componente de error (noise) en una componente
+residual y una componente predictiva (podemos realizar predicciones sobre esta componente):
+
+  [[LatexEquation(Noise = Noise.Prediction + Residuals)]]
+
 De este modo podemos encontrar descomposiciones como ésta:
-{{{
-output = noise.prediction + filter + residuals = prediction + residuals
-}}}
+
+  [[LatexEquation(Output = Noise.Pediction + Filter + Residual)]]
+
+O sea, descompongo en parte predictiva y parte que no se puede predecir:
+
+  [[LatexEquation(Output = Prediction + Residual)]]
+
 
 == Descomposición aditiva de modelos multiplicativos ==
@@ -67 +75 @@
 En estas circunstancias el output y las observaciones (observations)
 no coinciden:
-{{{
-output = Transformation(observations)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Output = Transformation(Observations)=T(Observations) )]]
+
 y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural)
 no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición 
@@ -80 +88 @@
 El caso más común es la transformación logarítmica, aunque los conceptos 
 son aplicables a cualquier transformación.
-{{{
-output = Log(observations) = noise + Suma(exp.terms) 
-}}}
-
-=== Descomposición ordenada ===
+
+   [[LatexEquation(Output = Log(Observations) = Noise + \sum_{i} Exp.Term_i)]]
+
+
+=== -- Descomposición ordenada ===
 
 Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición
@@ -91 +99 @@
 
 Sea una descomposición del output:
-{{{
-output = Sum(contributions)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Output = \sum_{i} Cont_i)]]
+
+donde  [[LatexEquation(Cont_i)]] representa la contribución i del  [[LatexEquation(Exp.Term_i)]] al output.
+
 podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una
 suma de efectos de las contribuciones (effects):
-{{{
-observations = Transformation.Inverse(output) = Sum(effects)
-}}}
+
+[[LatexEquation(Observations = Transformation.Inverse(Output) = T^{-1}(Observarion) = \sum_{i}Effect_i)]]
+
 de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea:
-{{{
-effect.ordered_i = Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i)) 
-                 - Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i-1))
-}}}
+
+[[LatexEquation(Effect.Ordered_i = T^{-1}(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(\sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
 
 A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición ordenada"
@@ -109 +117 @@
 (descomposición del output).
 
-=== Efecto inicial de la transformación ===
+=== -- Efecto inicial de la transformación ===
 
 En la descripción anterior hemos pasado por alto las consecuencias de
 que la transformación inversa de 0 (el elemento neutro en la adición)
-no sea 0: {{{Transformation.Inverse(0)!=0}}}
-
-En este caso es necesario introducir un término de efectos adicional 
-(effect_0) en la descomposición:
-{{{
-effect_0 = Transformation.Inverse(0)
-}}}
+no sea 0: 
+   [[LatexEquation(T^{-1}(0) \neq 0)]]
+
+
+En este caso es necesario introducir un término de efectos adicional [[LatexEquation(Effect_0)]] en la descomposición:
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0))]]
+
 quedando:
-{{{
-observations = effect_0 + Sum(effects, 1, N) = Sum(effects)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Observations = Effect_0 + \sum_{i=1}^{N}Effect_i )]]
+
 
 Para entender el significado de este effecto inicial, debemos prestar
@@ -130 +139 @@
 base o valor de referencia de la transformación.
 
-'''Caso 1'''
+'''CASO 1'''
 
 Imaginemos un caso de transformación bastante sencillo, consistente en:
-{{{
-Transformation(x) = x - x0
-}}}
+
+   [[LatexEquation(T(x) = x - x_0)]]
+
 En este caso el efecto inicial causado por la transformación es:
-{{{
-effect_0 = Transformation.Inverse(0) = x0
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = x_0)]]
+
 que no hace más que introducir en la descomposición el valor de referencia
 sustraido en la transformación.
 
-'''Caso 2'''
+'''CASO 2'''
 
 Imaginemos ahora un de los casos más comunes: una transformación logarítmica:
-{{{
-Transformation(x) = Log(x)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(T(x) = Log(x))]]
+
 En este caso el efecto inicial causado por el logaritmo es:
-{{{
-effect_0 = Transformation.Inverse(0) = Exp(0) = 1
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = Exp(0) = 1)]]
+
 de modo que la primera contribución será:
-{{{
-effect.ordered_1 = Exp(contribution_1) - Exp(0)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(Cont_1) - Exp(0))]]
+
 Esta expressión puede verse como:
-{{{
-effect.ordered_1 = Exp(0) * (Exp(contribution_1) - 1)
-                 ~ Exp(0) * contribution_1
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(0) * ( Exp(Cont_1) -1) \sim Exp(0) * Cont_1)]]
+
 e interpretar que el effecto inicial es un valor base sobre el que se
 calculan el efecto de las demás contribuciones.
@@ -170 +178 @@
 Véanse más adelante las "Descomposiciones base".
 
-=== Descomposición canónica ===
+=== -- Descomposición canónica ===
 
 Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone
 con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre
 el conjunto de permutaciones de las contribuciones:
+
 {{{
 effect.canonical_i = < effect.ordered_i >_permutations
 }}}
 
-=== Descomposiciones inexactas ===
-
-==== Descomposición FirstIn (o de contribuciones primeras) ====
+=== -- Descomposiciones inexactas ===
+
+==== * Descomposición FirstIn (o de contribuciones primeras) ====
 
 Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir
 un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución
 como si fuera la primera:
-{{{
-effect.firstIn_i = Transformation.Inverse(contribution_i) 
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.FirstIn_i = T^{-1}(Cont_i))]]
+
 Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta
 dejando una diferencia conocida como sinergía:
-{{{
-synergy = observations - Sum(effects.firstIn)
-}}}
-
-==== Descomposición Marginal (o de contribuciones marginales) ====
+  
+   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.FirstIn_i)]]
+
+ 
+==== * Descomposición Marginal (o de contribuciones marginales) ====
 
 Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos
 tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última):
-{{{
-effect.marginal_i = observations - Transformation.Inverse(output-contribution_i) 
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.Marginal_i = Observations - T^{-1}(Output - Cont_i))]]
+
 Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales"
 presenta sinergía:
-{{{
-synergy = observations - Sum(effects.marginal)
-}}}
-
-=== Descomposiciones mixtas ===
+
+   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.Marginal_i)]]
+
+
+=== -- Descomposiciones mixtas ===
 
 Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas
 dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente.
 
-=== Descomposiciones base ===
+=== -- Descomposiciones base ===
 
 Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una
@@ -226 +235 @@
 
 Sea una descomposición (con contribución principal) del output:
-{{{
-output = base + Sum(contributions)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Output = Base + \sum_{i} Cont_i)]]
+
 la descomposición de las observaciones:
-{{{
-observations = effect.base + Sum(effects)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Observations = Effect.Base + \sum_{i} Effect_i)]]
+
 vendrá dada por:
-{{{
-effect.base = Transformation.Inverse(base) 
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.Base = T^{-1}(Base))]]
+
 y los efectos obtenidos sobre la descomposición de las contribuciones 
 restantes considerando la base como contribución primera.
 
 Por ejemplo el efecto de las contribuciones ordenadas sería:
-{{{
-effect.base.ordered_i = Transformation.Inverse(base+Sum(contributions,1,i)) 
-                         - Transformation.Inverse(base+Sum(contributions,1,i-1))
-}}}
+
+[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]
+
 que en el caso de una transformación logarítmica se puede escribir como:
-{{{
-effect.base.ordered_i = Exp(base+Sum(contributions,1,i)) - Exp(base+Sum(contributions,1,i-1))
-  = Exp(base) * { Exp(Sum(contributions,1,i)) - Exp(Sum(contributions,1,i-1)) }
-  = effect.base * effect.ordered_i
-}}}
+
+[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = Exp(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j) = )]]
+[[LatexEquation(= Exp(Base) * [Exp(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(\sum_{j=1}^{i-1} Cont_j)] = Effect.Base * Effect.Ordered_i)]]
+
 En el caso logarítmico este resultado es general y puede aplicarse a otras
 descomposiciones de las componentes restantes como una descomposición canónica:
-{{{
-effect.base.canonical_i = effect.base * effect.canonical_i
-}}}
-
-=== Descomposiciones modificadas ===
+
+   [[LatexEquation(Effect.Base.Canonical_i = Effect.Base * Effect.Canonical_i)]]
+
+
+=== -- Descomposiciones modificadas ===
 
 Algunas de las descomposiciones anteriores se caracterizan por presentar contribuciones
@@ -266 +273 @@
 
 Sea una descomposición:
-{{{
-observations = Sum(effects) + effect.extra
-}}}
-donde el efecto extraordinario {{{effect.extra}}} corresponde el efecto 
+
+   [[LatexEquation(Observation = \sum_{i} Effect_i = Effect.Extra)]]
+
+donde el efecto extraordinario    [[LatexEquation(Effect.Extra)]] corresponde el efecto 
 (o suma de efectos) que desea eliminarse.
 
 La nueva descomposición libre de efectos extraordinarios será:
-{{{
-observations = Sum(effects.modified)
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Observations = \sum_{i} Effect.Modified_i)]]
+
 donde cada effecto modificado tiene la forma:
-{{{
-effect.modified_i = effect.i * (observations/(observations-effect.extra))
-}}}
+
+   [[LatexEquation(Effect.Modified_i = Effect_i *(\frac {Observations} {Observations - Effect.Extra}))]]
+
 
 == Descomposición DueTo ==
@@ -288 +295 @@
 La descomposición se hace refiriendo los valores de un instante a los de 
 otro anterior, del modo siguiente:
-{{{
-observations_0 = Sum(effects_0)
-observations_1 = Sum(effects_1)
-}}}
-{{{
-observations_1 = observations_0 + Sum(Dif:effects)
-}}}
-donde: {{{Dif:x = x_1 - x_0}}}
+
+[[LatexEquation(Observations_0 = \sum_{i}Effect_{i0})]]
+[[LatexEquation(Observations_1 = \sum_{i}Effect_{i1})]]
+
+Entonces:
+
+[[LatexEquation(Observations_1 = Observations_0 + \sum_{i}(Effect_{i1} - Effect_{i0}))]]
+
 
 O utilizando polinomios de retardos:
-{{{
-observations = B:observations + Sum((1-B):effects)
-}}}
-
-=== Informe de DueTo porcentual ===
+
+[[LatexEquation(Observations = B:Observations + \sum_{i} (1-B):Effect_i)]]
+
+donde [[LatexEquation(B:X_i=X_{i-1})]]
+
+=== -- Informe de DueTo porcentual ===
 
 Una descomposición DueTo puede expresarse en porcentajes respecto al
 valor anterior como:
-{{{
- (1-B):observations/B:observations % = Sum((1-B):effects/B:observations %)
-}}}
-
-=== Cambio del dominio temporal de una descomposición ===
+  
+  [[LatexEquation(\frac{(1-B):Observations} {B:Observations} \% = \sum_{i}(\frac{(1-B):Effect_i} {B:Observations}) \%)]]
+
+que ésto es:
+
+  [[LatexEquation(\frac{ Obs_t - Obs_{t-1}} { Obs_{t-1} } \%= \sum_{i} \frac{Effect_{it} - Effect_{i(t-1)}} { Obs_{t-1} } \%)]]
+
+=== -- Cambio del dominio temporal de una descomposición ===
 
 Sin embargo, en modelos con estacionalidades, el interés suele estar
@@ -320 +331 @@
 de la descomposición.
 
-=== Otras descomposiciones DueTo ===
+=== -- Otras descomposiciones DueTo ===
 
 Además de hacer una descomposición de las observaciones comparándolas
@@ -418 +429 @@
 Cualquier otro documento que se disponga relativo a las descomposiciones
 será bien recibido.
+
+}}}