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Sep 14, 2010, 6:45:26 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations

@@ -31 +31 @@
 == Igualdad de variables aleatorias ==
 
-El ejercicio más simple (no trivial) que podemos imaginar es aquel formado
-por dos variables aleatorias (de tipo real) que siguen sendas distribuciones
-normales (e independientes) sujeta a la restricción de ser iguales.
+[wiki:Combinations/TwoVariablesEquality Igualdad de variables aleatorias]
 
-Dadas vA y vB (variables a priori):
-{{{
-vA ~ N(muA, sigmaA)
-vB ~ N(muB, sigmaB)
-}}}
-encontrar las wA y wB (variables a posteriori) que satisfagan:
-{{{
-wA == wB
-}}}
+== Combinación de variables con una sóla ecuación lineal ==
 
-=== Solución determinista ===
-
-El método utilizado para encontrar la solución determinista 
-(no como variables aleatorias) del sistema es reducir la 
-[http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] 
-de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):
-
-{{{
-Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma2**-1·(Z-Mu))
-}}}
-donde Z y Mu son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
-{{{
-Z' = (zA, zB)
-Mu' = (muA, muB)
-Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
-}}}
-
-La solución de minimizar la distancia:
-{{{
-Dist(Mu, Sigma2, Z)
-}}}
-sujeta al sistema de ecuaciones:
-{{{
-B·Z == C
-}}}
-viene dad por:
-{{{
-Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
-}}}
-
-En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:
-{{{
-B = (1, -1)
-C = (0)
-}}}
-de modo que la solución encontrada es:
-{{{
-zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
-zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
-}}}
-y simplificando:
-{{{
-z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
-}}}
-Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas
-de las varianzas de los valores muA y muB:
-{{{
-z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)
-}}}
-
-=== Solución como variables aleatorias ===
-
-Planteamos ahora la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
-
-Dada que la combinación es una igualdad entre dos variables aleatorias, la solución
-encontrada para una será también la de la otra y la correlación entre ellas será 1.
-
-La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
-una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
-y el resto de información a priori.
-
-En este caso sencillo podríamos escribir la función de densidad a posteriori de la
-variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
-función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (wA==wB) que no es otra
-que la función de densidad a priori de la varible B (fvB):
-
-{{{
-fwA(x) = k * fvA(x) * fvB(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x)
-}}}
-
-Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
-{{{
-wA ~ N(muAB, sigmaAB)
-}}}
-con los siguientes parámetros:
-{{{
-muAB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
-sigmaAB = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
-}}}
-
-De modo que la solución a la combinación será:
-{{{
-w = wA = wB ~ N(muAB, sigmaAB)
-}}}
-
-En modo matricial podemos representarlo como:
-{{{
-Mu_W' = (muAB, muAB)
-Sigma2_W = ((sigmaAB, sigmaAB), (sigmaAB, sigmaAB))
-}}}
-
-Nótese que esta solución nos ofrece como valores medios 
-y también como valores más probables (modas)
-la solución obtenida minimizando la distancia de Mahalanobis.
-
-== Combinación de variables con una sóla ecuación ==
-
-Otro ejercicio bastante sencillo que podemos imaginar es aquel formado
-por un conjunto de variables aleatorias (de tipo real) que siguen distribuciones
-normales (e independientes) sujetas a una restricción formada por una sola ecuación.
-
-=== Caso de tres variables ===
-
-Por sencillez trataremos detalladamente el caso de tres variables:
-
-Dadas vA, vB y vC (variables a priori):
-{{{
-vA ~ N(muA, sigmaA)
-vB ~ N(muB, sigmaB)
-vC ~ N(muC, sigmaC)
-}}}
-encontrar las wA, wB y wC (variables a posteriori) que satisfagan:
-{{{
-a*wA + b*wB + c*wC == d
-}}}
-
-=== Solución determinista ===
-
-De acuerdo al método utilizado para encontrar la solución determinista 
-(no como variables aleatorias) del sistema reduciendo la 
-distacia de Mahalanobis de la solución Z al punto de partida Mu:
-{{{
-Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
-}}}
-donde:
-{{{
-Z' = (zA, zB, zC)
-Mu' = (muA, muB, muC)
-Sigma2 = ((sigmaA**2, 0, 0), (0, sigmaB**2, 0), (0, 0, sigmaC**2))
-}}}
-y utilizando la restricción:
-{{{
-B = ((a, b, c))
-C = ((d))
-}}}
-encontramos:
-{{{
-    { zA = muA + a * sigmaA**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
-Z = { zB = muB + b * sigmaB**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
-    { zC = muC + c * sigmaC**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
-}}}
-
-=== Solución como variables aleatorias ===
-
-Como hicimos antes ahora planteamos la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
-
-Dada la simetría de la combinación, la solución para una de las variables nos valdrá para
-las demás, modificándola convenientemente.
-
-La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
-una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
-y el resto de información a priori.
-
-Mientras que en el ejemplo anterior la restricción formaba un espacio con un grado de libertad,
-en el ejemplo que nos ocupa el espacio tiene dos grados de libertad, de modo que para un valor
-de la variable A encontramos toda una recta de valores de las variables B y C compatibles.
-
-Así pues podemos escribir la función de densidad a posteriori de la
-variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
-función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (a*wA+b*wB+c*wC==d) que podemos escribir como:
-{{{
-fvBC(x) = Integrate(fNormal(muB, sigmaB, y) * fNormal(muB, sigmaB, (d-a*x-b*y)/c), {y, -infinite, infinite})
-}}}
-de modo que:
-{{{
-fwA(x) = k * fvA(x) * fvBC(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fvBC(x)
-}}}
-
-Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
-{{{
-wA ~ N(muA_BC, sigmaA_BC)
-}}}
-con los siguientes parámetros:
-{{{
-muA_BC = (a * (d - b*muB - c*muC) * sigmaA**2 + muA * ((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2))  / ((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
-sigmaA_BC = sigmaA * Sqrt((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2) / Sqrt((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
-}}}
-
-Se puede comprobar que esta solución es coherente con el resultado del ejemplo anterior. Usando los valores:
-a=1, b=-1, c=0 y d=0 se obtiene:
-{{{
-muA_BC = (- muB * sigmaA**2 + muA * sigmaB**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
-sigmaA_BC = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
-}}}
-
-Utilizando la simetría de la combinación podemos obtener las restantes variables como:
-{{{
-wA ~ N(muA_post, sigmaA_post)
-wB ~ N(muB_post, sigmaB_post)
-wC ~ N(muC_post, sigmaC_post)
-}}}
-cuyos parámetros se pueden escribir como:
-{{{
-muX_post = (x * (Dm + x*muX) * sigmaX**2 + muX * (S2 - (x*sigmaX)**2))  / (S2)
-sigmaX_post = sigmaX * Sqrt(S2 - (x*sigmaX)**2) / Sqrt(S2)
-}}}
-donde:
-{{{
-S2 := (a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2
-Dm := d  -a*muA - b*muB - c*muC
-}}}
-sustituyendo 'x' y 'X' por 'a', 'b' o 'c' y 'A', 'B' o 'C' respectivamente.
-
+[wiki:Combinations/OneLinearEquation Combinación de variables con una sóla ecuación lineal]
 
 == Nota matemática ==