Changes between Initial Version and Version 1 of Combinations/TwoVariablesEquality

Timestamp:

Sep 14, 2010, 6:29:45 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

--

Combinations/TwoVariablesEquality

@@ +1 @@
+
+= Combinación de variables aleatorias =
+
+== Igualdad de variables aleatorias ==
+
+El ejercicio más simple (no trivial) que podemos imaginar es aquel formado
+por dos variables aleatorias (de tipo real) que siguen sendas distribuciones
+normales (e independientes) sujeta a la restricción de ser iguales.
+
+Dadas vA y vB (variables a priori):
+{{{
+vA ~ N(muA, sigmaA)
+vB ~ N(muB, sigmaB)
+}}}
+encontrar las wA y wB (variables a posteriori) que satisfagan:
+{{{
+wA == wB
+}}}
+
+=== Solución determinista ===
+
+El método utilizado para encontrar la solución determinista 
+(no como variables aleatorias) del sistema es reducir la 
+[http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] 
+de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):
+
+{{{
+Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma2**-1·(Z-Mu))
+}}}
+donde Z y Mu son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
+{{{
+Z' = (zA, zB)
+Mu' = (muA, muB)
+Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
+}}}
+
+La solución de minimizar la distancia:
+{{{
+Dist(Mu, Sigma2, Z)
+}}}
+sujeta al sistema de ecuaciones:
+{{{
+B·Z == C
+}}}
+viene dad por:
+{{{
+Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
+}}}
+
+En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:
+{{{
+B = (1, -1)
+C = (0)
+}}}
+de modo que la solución encontrada es:
+{{{
+zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
+zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
+}}}
+y simplificando:
+{{{
+z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
+}}}
+Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas
+de las varianzas de los valores muA y muB:
+{{{
+z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)
+}}}
+
+=== Solución como variables aleatorias ===
+
+Planteamos ahora la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
+
+Dada que la combinación es una igualdad entre dos variables aleatorias, la solución
+encontrada para una será también la de la otra y la correlación entre ellas será 1.
+
+La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
+una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
+y el resto de información a priori.
+
+En este caso sencillo podríamos escribir la función de densidad a posteriori de la
+variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
+función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (wA==wB) que no es otra
+que la función de densidad a priori de la varible B (fvB):
+
+{{{
+fwA(x) = k * fvA(x) * fvB(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x)
+}}}
+
+Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
+{{{
+wA ~ N(muAB, sigmaAB)
+}}}
+con los siguientes parámetros:
+{{{
+muAB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
+sigmaAB = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
+}}}
+
+De modo que la solución a la combinación será:
+{{{
+w = wA = wB ~ N(muAB, sigmaAB)
+}}}
+
+En modo matricial podemos representarlo como:
+{{{
+Mu_W' = (muAB, muAB)
+Sigma2_W = ((sigmaAB, sigmaAB), (sigmaAB, sigmaAB))
+}}}
+
+Nótese que esta solución nos ofrece como valores medios 
+y también como valores más probables (modas)
+la solución obtenida minimizando la distancia de Mahalanobis.