Changes between Initial Version and Version 1 of Combinations/SeparableCombination

Timestamp:

Sep 14, 2010, 10:42:53 AM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations/SeparableCombination

@@ +1 @@
+
+= Combinación de variables aleatorias =
+
+== Combinación de variables aleatorias separable ==
+
+En general el problema de encontrar una solución determinista para una combinación de variables aleatorias
+no puede resolverse mediante un algoritmo de optimización.
+
+Sin embargo hay un caso particular, que denominaremos combinación separable y que se encuentra a menudo en modelación, que sí puede resolverse.
+
+Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+}}}
+donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y sea
+{{{
+F(V1) = V2
+}}}
+una restricción separable, donde {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} son dos subconjuntos complementarios de {{{V (n=n1+n2x1)}}}:
+{{{
+V' = (V1', V2')
+}}}
+
+La condición de encontrar el valor {{{Nu}}} que minimice la distancia:
+{{{
+distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
+}}}
+sujeta a las restricciones anteriores puede escribirse como la minimización
+de una función de N1 no restringida
+{{{
+min. (Mu-Nu(Nu1))'·Sigma**-1·(Mu-Nu(Nu1))
+}}}
+donde
+{{{
+Nu(Nu1)' = (Nu1', F(Nu1)') 
+}}}
+
+=== Combinación lineal de variables aleatorias separable ===
+
+Un caso muy común de combinación separable es aquel en el que la restricción es lineal pudiéndose escribir de la forma:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+A·V1 + B = V2
+}}}
+donde {{{V'=(V1,V2)'}}} es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} y
+{{{A (n1xn1)}}} y {{{B (n1x1)}}} son las matrices de la restricción lineal.
+Nótese que el número de variables separadas {{{V2}}} es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices {{{A}}} y {{{B}}}).