Changes between Initial Version and Version 1 of Combinations/LinearTransNormalSolution

Timestamp:

Sep 14, 2010, 10:44:46 AM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

--

Combinations/LinearTransNormalSolution

@@ +1 @@
+
+= Combinación de variables aleatorias =
+
+== Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales ==
+
+Anteriormente encontramos la solución determinista para una combinación lineal de variables aleatorias normales:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · V = C
+}}}
+minimizando la distancia de Mahalanobis de la solución al vector de medias:
+{{{
+Z = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
+}}}
+
+Hay una situación más general que ésta que admite una solución similar.
+Se trata del caso, más general, en el que la familia de variables aleatorias se pueda
+expresar como una transformación de variables aleatorias normales,
+{{{
+T(V) ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · V = C
+}}}
+donde {{{T}}} es una transformación inversible de las variables aleatorias.
+
+A esta nueva familia de variables aleatroias la podemos denominar trans-normales
+en analogía al nombre que reciben cuando la transformación es el logaritmo: log-normales.
+
+Para el caso de la combinación lineal de variables trans-normales, podemos encontrar la solución
+determinista que minimiza la distancia de Mahalanobis en el espacio transformado:
+{{{
+distM(T(Z), Mu; Sigma) = Sqrt((T(Z)-Mu)'·Sigma**-1·(T(Z)-Mu))
+}}}
+replanteando el problema como:
+{{{
+W ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · S(W) = C
+}}}
+donde {{{S=inv(T)}}} es la transformación inversa de {{{T}}}.
+
+La solución {{{Y=T(Z)}}} al nuevo problema sobre variables normales puede obtenerse mediante
+la resolución de la equción matricial no-lineal siguiente:
+{{{
+Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+con:
+{{{
+M(Y) = D[S(Y)]·Sigma·D[S(y)]'
+}}}
+donde {{{D[S(Y)]}}} es la matriz de derivadas de {{{S}}} en {{{Y}}}:
+{{{
+D[S(Y)] = d/d[Y] · S(Y)'
+}}}
+cuyo elemento {{{i,j}}} es:
+{{{
+D[S(Y)]_i,j = d[S(Y)_i]/dY_j
+}}}
+
+Nótese que la ecuación:
+{{{
+Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+coincide con la encontrada anteriormente cuando la transformación es la identidad:
+{{{
+T(U) = U
+S(W) = W
+M(Y) = Sigma
+}}}
+
+En general, sin embargo, la ecuación no puede obtenerse analíticamente
+aunque puede resolverse numéricamente de manera recursiva en pocas iteraciones
+utilizando como solución inicial el vector de medias:
+{{{
+Y_0=Mu
+Y_(n+1) = T( S(Mu) + M(Y_n)·B'·Inv[B·M(Y_n)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+=>! Es necesario demostrar o comprobar esto
+
+