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Sep 14, 2010, 10:30:19 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations/DeterministicSolution

@@ -13 +13 @@
 {{{
 V ~ Normal(Mu, Sigma)
-F(V)==0
+F(V)=0
 }}}
 la solución determinista buscada {{{Nu}}} minimiza la distancia:
@@ -19 +19 @@
 distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
 }}}
-donde {{{V}}} representa al conjunto de variables aleatorias, {{{Mu}}} sus medias y {{{Sigma}}} su matriz de covarianza, {{{F(V)==0}}} son las restricciones sobre {{{V}}}, y {{{Nu}}} es el valor determinista buscado de la solución de la combinación.
-
-=== Combinación lineal de variables aleatorias normales ===
+donde {{{V}}} representa al conjunto de variables aleatorias, {{{Mu}}} sus medias y {{{Sigma}}} su matriz de covarianza, {{{F(V)=0}}} son las restricciones sobre {{{V}}}, y {{{Nu}}} es el valor determinista buscado de la solución de la combinación.
+
+== Combinación lineal de variables aleatorias normales ==
 
 A continuación deducimos la solución a la combinación lineal de variables aleatorias normales.
@@ -50 +50 @@
 Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
 {{{
-d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C == 0
+d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0
 }}}
 que es la restricción lineal sobre las variables y 
 {{{
-d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda == 0
+d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0
 }}}
 
 Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
 {{{
-2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) == - B'·Lambda
-Z-Mu == - 1/2 Sigma·B'·Lambda
-B·(Z-Mu) == C-B·Mu == - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
-Lambda == -2 Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
+2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
+Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
+B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
+Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
 }}}
 y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
 {{{
-Z == Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda == Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
+Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
 }}}
 
@@ -83 +83 @@
 Para obtener estos resultados puede hacerse la siguiente consideración:
 {{{
-d[f(X)]/d[X] == d/d[X] · f[X]
+d[f(X)]/d[X] = d/d[X] · f[X]
 }}}
 donde la derivada se puede ver como un producto matricial entre un operador
@@ -92 +92 @@
 y la matriz a derivar.
 
-=== Combinación de variables separable ===
+== Combinación de variables aleatorias separable ==
 
 En general el problema de encontrar una solución determinista para una combinación de variables aleatorias
@@ -131 +131 @@
 {{{
 V ~ Normal(Mu, Sigma)
-A·V1 + B == V2
+A·V1 + B = V2
 }}}
 donde {{{V'=(V1,V2)'}}} es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} y
 {{{A (n1xn1)}}} y {{{B (n1x1)}}} son las matrices de la restricción lineal.
 Nótese que el número de variables separadas {{{V2}}} es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices {{{A}}} y {{{B}}}).
+
+== Combinación lineal de variables aleatorias fun-normales ==
+
+Anteriormente encontramos la solución determinista para una combinación lineal de variables aleatorias normales:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · V = C
+}}}
+minimizando la distancia de Mahalanobis de la solución al vector de medias:
+{{{
+Z = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
+}}}
+
+En el caso, más general, en el que la familia de variables aleatorias se pueda
+expresar como una transformación de variables aleatorias normales,
+{{{
+T(V) ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · V = C
+}}}
+donde {{{T}}} es una transformación inversible de las variables aleatorias, podemos encontrar la solución
+determinista que minimiza la distancia de Mahalanobis en el espacio transformado:
+{{{
+distM(T(Z), Mu; Sigma) = Sqrt((T(Z)-Mu)'·Sigma**-1·(T(Z)-Mu))
+}}}
+replanteando el problema como:
+{{{
+W ~ Normal(Mu, Sigma)
+B · S(W) = C
+}}}
+donde {{{S=inv(T)}}} es la transformación inversa de {{{T}}.
+
+La solución {{{Y=T(Z)}}} al nuevo problema sobre variables normales puede obtenerse mediante
+la resolución de la equción matricial no-lineal siguiente:
+{{{
+Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+con:
+{{{
+M(Y) = D[S(Y)]·Sigma·D[S(y)]'
+}}}
+donde {{{D[S(Y)]}}} es la matriz de derivadas de {{{S}}} en {{{Y}}}:
+{{{
+D[S(Y)] = d/d[Y] · S(Y)'
+}}}
+cuyo elemento {{{i,j}}} es:
+{{{
+D[S(Y)]_i,j = d[S(Y)_i]/dY_j
+}}}
+
+Nótese que la ecuación:
+{{{
+Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+coincide con la encontrada anteriormente cuando la transformación es la identidad:
+{{{
+T(U) = U
+S(W) = W
+M(Y) = Sigma
+}}}
+
+En general, sin embargo, la ecuación no puede obtenerse analíticamente
+aunque puede resolverse numéricamente de manera recursiva en pocas iteraciones
+utilizando como solución inicial el vector de medias:
+{{{
+Y_0=Mu
+Y_(n+1) = T( S(Mu) + M(Y_n)·B'·Inv[B·M(Y_n)·B']·(C-B·S(Mu)) )
+}}}
+=>! Es necesario demostrar o comprobar esto