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Sep 14, 2010, 8:28:09 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

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Combinations/DeterministicSolution

@@ -21 +21 @@
 donde {{{V}}} representa al conjunto de variables aleatorias, {{{Mu}}} sus medias y {{{Sigma}}} su matriz de covarianza, {{{F(V)==0}}} son las restricciones sobre {{{V}}}, y {{{Nu}}} es el valor determinista buscado de la solución de la combinación.
 
-=== Combinación lineal de variables normales ===
+=== Combinación lineal de variables aleatorias normales ===
 
+A continuación deducimos la solución a la combinación lineal de variables aleatorias normales.
+
+Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+}}}
+donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
+{{{
+B · Z = C
+}}}
+un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
+matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.
+
+El objetivo es encontrar la solución {{{Nu}}} que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector
+de medias:
+{{{
+min. distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
+}}}
+
+Solucionamos el problema mediante el método de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
+{{{
+min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
+}}}
+donde {{{L(Z, Lambda)}}} es la función de Lagrange y {{{Lambda (mx1)}}} el vector de multiplicadores de Lagrange.
+
+Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
+{{{
+d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C == 0
+}}}
+que es la restricción lineal sobre las variables y 
+{{{
+d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda == 0
+}}}
+
+Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
+{{{
+2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) == - B'·Lambda
+Z-Mu == - 1/2 Sigma·B'·Lambda
+B·(Z-Mu) == C-B·Mu == - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
+Lambda == -2 Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
+}}}
+y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
+{{{
+Z == Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda == Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
+}}}
+
+