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Sep 14, 2010, 10:44:51 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

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Combinations/DeterministicSolution

@@ -21 +21 @@
 donde {{{V}}} representa al conjunto de variables aleatorias, {{{Mu}}} sus medias y {{{Sigma}}} su matriz de covarianza, {{{F(V)=0}}} son las restricciones sobre {{{V}}}, y {{{Nu}}} es el valor determinista buscado de la solución de la combinación.
 
+
 == Combinación lineal de variables aleatorias normales ==
 
-A continuación deducimos la solución a la combinación lineal de variables aleatorias normales.
-
-Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
-{{{
-V ~ Normal(Mu, Sigma)
-}}}
-donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
-{{{
-B · V = C
-}}}
-un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
-matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.
-
-El objetivo es encontrar la solución {{{Z}}} que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector
-de medias:
-{{{
-min. distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt[(Z-Mu)'·Inv[Sigma]·(Z-Mu)]
-}}}
-
-Solucionamos el problema mediante el método de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
-{{{
-min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
-}}}
-donde {{{L(Z, Lambda)}}} es la función de Lagrange y {{{Lambda (mx1)}}} el vector de multiplicadores de Lagrange.
-
-Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
-{{{
-d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0
-}}}
-que es la restricción lineal sobre las variables y 
-{{{
-d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0
-}}}
-
-Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
-{{{
-2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
-Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
-B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
-Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
-}}}
-y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
-{{{
-Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
-}}}
-
-=== Nota Matemática ===
-
-Se han hecho uso de algunos resultados de derivación matricial como:
-{{{
-d[X']/d[X] = I
-d[A'·X]/d[X] = d[X'·A]/d[X] = A
-d[X'·X]/d[X] = 2 X
-d[X'·B·X]/d[X] = (B+B')·X =(si B es simétrica)= 2 B·X
-}}}
-donde {{{X}}} y {{{A}}} son matrices columna, {{{B}}} es una matriz cuadrada
-e {{{I}}} es la matriz identidad.
-
-Para obtener estos resultados puede hacerse la siguiente consideración:
-{{{
-d[f(X)]/d[X] = d/d[X] · f[X]
-}}}
-donde la derivada se puede ver como un producto matricial entre un operador
-columna de derivadas:
-{{{
-d/d[X] = (d/dx1, d/dx2, ..., d/dxn)'
-}}} 
-y la matriz a derivar.
+[wiki:Combinations/LinearNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias normales]
 
 == Combinación de variables aleatorias separable ==
 
-En general el problema de encontrar una solución determinista para una combinación de variables aleatorias
-no puede resolverse mediante un algoritmo de optimización.
-
-Sin embargo hay un caso particular, que denominaremos combinación separable y que se encuentra a menudo en modelación, que sí puede resolverse.
-
-Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
-{{{
-V ~ Normal(Mu, Sigma)
-}}}
-donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y sea
-{{{
-F(V1) = V2
-}}}
-una restricción separable, donde {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} son dos subconjuntos complementarios de {{{V (n=n1+n2x1)}}}:
-{{{
-V' = (V1', V2')
-}}}
-
-La condición de encontrar el valor {{{Nu}}} que minimice la distancia:
-{{{
-distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
-}}}
-sujeta a las restricciones anteriores puede escribirse como la minimización
-de una función de N1 no restringida
-{{{
-min. (Mu-Nu(Nu1))'·Sigma**-1·(Mu-Nu(Nu1))
-}}}
-donde
-{{{
-Nu(Nu1)' = (Nu1', F(Nu1)') 
-}}}
-
-=== Combinación lineal de variables aleatorias separable ===
-
-Un caso muy común de combinación separable es aquel en el que la restricción es lineal pudiéndose escribir de la forma:
-{{{
-V ~ Normal(Mu, Sigma)
-A·V1 + B = V2
-}}}
-donde {{{V'=(V1,V2)'}}} es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} y
-{{{A (n1xn1)}}} y {{{B (n1x1)}}} son las matrices de la restricción lineal.
-Nótese que el número de variables separadas {{{V2}}} es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices {{{A}}} y {{{B}}}).
+[wiki:Combinations/SeparableCombination Combinación de variables aleatorias separable]
 
 == Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales ==
 
-Anteriormente encontramos la solución determinista para una combinación lineal de variables aleatorias normales:
-{{{
-V ~ Normal(Mu, Sigma)
-B · V = C
-}}}
-minimizando la distancia de Mahalanobis de la solución al vector de medias:
-{{{
-Z = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
-}}}
-
-Hay una situación más general que ésta que admite una solución similar.
-Se trata del caso, más general, en el que la familia de variables aleatorias se pueda
-expresar como una transformación de variables aleatorias normales,
-{{{
-T(V) ~ Normal(Mu, Sigma)
-B · V = C
-}}}
-donde {{{T}}} es una transformación inversible de las variables aleatorias.
-
-A esta nueva familia de variables aleatroias la podemos denominar trans-normales
-en analogía al nombre que reciben cuando la transformación es el logaritmo: log-normales.
-
-Para el caso de la combinación lineal de variables trans-normales, podemos encontrar la solución
-determinista que minimiza la distancia de Mahalanobis en el espacio transformado:
-{{{
-distM(T(Z), Mu; Sigma) = Sqrt((T(Z)-Mu)'·Sigma**-1·(T(Z)-Mu))
-}}}
-replanteando el problema como:
-{{{
-W ~ Normal(Mu, Sigma)
-B · S(W) = C
-}}}
-donde {{{S=inv(T)}}} es la transformación inversa de {{{T}}}.
-
-La solución {{{Y=T(Z)}}} al nuevo problema sobre variables normales puede obtenerse mediante
-la resolución de la equción matricial no-lineal siguiente:
-{{{
-Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
-}}}
-con:
-{{{
-M(Y) = D[S(Y)]·Sigma·D[S(y)]'
-}}}
-donde {{{D[S(Y)]}}} es la matriz de derivadas de {{{S}}} en {{{Y}}}:
-{{{
-D[S(Y)] = d/d[Y] · S(Y)'
-}}}
-cuyo elemento {{{i,j}}} es:
-{{{
-D[S(Y)]_i,j = d[S(Y)_i]/dY_j
-}}}
-
-Nótese que la ecuación:
-{{{
-Y = T( S(Mu) + M(Y)·B'·Inv[B·M(Y)·B']·(C-B·S(Mu)) )
-}}}
-coincide con la encontrada anteriormente cuando la transformación es la identidad:
-{{{
-T(U) = U
-S(W) = W
-M(Y) = Sigma
-}}}
-
-En general, sin embargo, la ecuación no puede obtenerse analíticamente
-aunque puede resolverse numéricamente de manera recursiva en pocas iteraciones
-utilizando como solución inicial el vector de medias:
-{{{
-Y_0=Mu
-Y_(n+1) = T( S(Mu) + M(Y_n)·B'·Inv[B·M(Y_n)·B']·(C-B·S(Mu)) )
-}}}
-=>! Es necesario demostrar o comprobar esto
-
-
-
-
+[wiki:Combinations/LinearTransNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales]