Función definida a trozos (piecewise-defined function)

Una ​función definida a trozos es aquella cuya expresión varía en determinados tramos de su variable independiente.

Un ejemplo muy conocido es la función valor absoluto, que puede describirse como la función identidad para los valores positivos o cero y como la función opuesto para los valores negativos:

         { x ,, x>=0
abs(x) = {
         { -x ,, x<0

Regresión con funciones a trozos

En una regresión describimos una variable Y (el output) como combinación lineal de otras variables X_i (los inputs):

Y = Sum_i(beta_i * X_i) + N

más una parte no explicada N que es el ruido o residuo de la regresión.

De este modo, la relación entre el output y cada input es lineal. Sin embargo, no siempre esta relación se ajusta a la relación existente entre dichas variables y es necesario proponer algún tipo de relación no lineal.

En ocasiones, la función que caracteriza la relación no lineal es conocida y basta sustituir el input original X_i, por el input transformado convenientemente F(X_i) y realizar la regresión lineal correspondiente.

En otras ocasiones, esta forma funcional es conocida, pero depende de algún parámetro no lineal que puede ser estimado por los algoritmos correspondientes.

En el caso que nos ocupa, se propone describir dicha forma no-lineal como una función lineal a trozos, de modo que el término E_i = beta_i * X_i se pueda reescribir como:

E_i = beta_i,k * X_i ,,  X_i <: Omega_i,k