= Función definida a trozos (piecewise-defined function) =

Una [http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_definida_a_trozos función definida a trozos] es aquella cuya expresión varía en determinados tramos de su variable independiente.

Un ejemplo muy conocido es la función valor absoluto, que puede describirse como la función identidad para los valores positivos o cero y como la función opuesto para los valores negativos:
{{{
          | x ,, x>=0
abs(x) = <|
          | -x ,, x<0
}}}

== Regresión con funciones a trozos == 

En una regresión describimos una variable {{{Y}}} (el ''output'') como combinación lineal de otras variables {{{X_i}}} (los ''inputs''):
{{{
Y = Sum_i(beta_i * X_i) + N
}}}
más una parte no explicada {{{N}}} que es el ruido o residuo de la regresión.

De este modo, la relación entre el output y cada input es lineal. Sin embargo, no siempre esta relación se ajusta a la relación existente entre dichas variables y es necesario proponer algún tipo  de relación no lineal.

En ocasiones, la función que caracteriza la relación no lineal es conocida y basta sustituir el input original {{{X_i}}}, por el input transformado convenientemente {{{F(X_i)}}} y realizar la regresión lineal correspondiente. 

En otras ocasiones, esta forma funcional es conocida, pero depende de algún parámetro no lineal que puede ser estimado por los algoritmos correspondientes.

En el caso que nos ocupa, se propone describir dicha forma no-lineal como una función lineal a trozos, de modo que un término {{{E(X) = beta * X}}} se pueda reescribir como:
{{{
E(X) = alpha_k + beta_k * X ,,  X <: [X_k, X_{k+1}]
}}}
cumpliendo dos condiciones:
 * continuidad: {{{alpha_k + beta_k * X_{k+1} ==  alpha_{k+1} + beta_{k+1} * X_{k+1} }}}
 * efecto nulo para input nulo: {{{E(0) == 0}}}

== Particionamiento del input ==

Para incorporar dicha función a trozos a la regresión, utilizaremos un particionamiento del input {{{P_k(X)}}} de modo que la función a trozos se pueda escribir como combinación lineal de dicho particionamiento:
{{{
E(X) = Sum_k(beta_k * P_k(X))
}}}

El particionamiento del input viene dado por:
{{{
          |          / x_k - x_{k+1}   ,,  x<x_k
          | k<q  -> |  x - x_{k+1}     ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]
          |          \ 0               ,,  x>x_{k+1}
          |          / x_k             ,,  x<x_k
P_k(x) = <| k==q -> |  x               ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]
          |          \ x_{k+1}         ,,  x>x_{k+1}
          |          / 0               ,,  x<x_k
          | k>q  -> |  x - x_k         ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]
          |          \ x_{k+1} - x_k   ,,  x>x_{k+1}

siendo: 0 <: [x_q, x_{q+1}]
}}} 

Nótese que:
{{{
Sum_k(P_k(x)) == x
}}}
y de ahí el término particionamiento para referirse a este conjunto de transformaciones del input.

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== [Cálculos] ==

=== Transformaciones-''piecewise'' del input ===

Se admite que las marcas utilizadas para la partición del input recorren todo el dominio del input. Ya que, de lo contrario, el input tendría que truncarse al intervalo definido por las marcas usadas.

Sean {{{n+1}}} marcas: {{{x_k}}} con {{{k<:[1,n+1]}}} y un input {{{x}}} que será modelado con diferentes parámetros según sus valores estén en un intervalo {{{[x_k, x_{k+1}]}}} u otro:
{{{
        |  a_1 + b_1 * x  ,,  x<:[x_1, x_2]
        |  ...
E(x) = <|  a_m + b_m * x  ,,  x<:[x_m, x_{m+1}]
        |  ...
        |  a_n + b_n * x  ,,  x<:[x_n, x_{n+1}]
}}}
 
Se busca que el efecto ({{{E}}}) sea continuo de modo que el valor para una marca: {{{x_k}}} sea el mismo por la izquierda o por la derecha: 
{{{
a_{k-1} + b_{k-1} * x_k = a_k + b_k * x_k
}}}
y se quiere que la el efecto sea nulo para el input nulo (esté libre de constante u ordenada en el origen):
{{{
E(x=0) = 0
}}}

Si reescribimos la expresión anterior teniendo en cuenta cual es el intervalo que contiene al {{{0}}}: {{{0<:[x_q, x_{q+1}]}}}
{{{
        |  ... (+)
        |  ...
E(x) = <|  b_q * x                        ,,  x<:[x_q, x_(q+1)]
        |  b_{q+1}*(x-x_{q+1})
        |    + b_q*x_{q+1}                ,,  x<:[x_{q+1}, x_{q+2}]
        |  b_{q+2}*(x-x_{q+2}) 
        |    + b_{q+1}*(x_{q+2}-x_{q+1}) 
        |    + b_q*x_{q+1}                ,,  x<:[x_{q+2}, x_{q+3}]
        |  ...
        |  b_n*(x-x_n) 
        |    + b_{n-1}*(x_n-x_{n-1}) 
        |    + ... + b_q*x_{q+1}          ,,  x<:[x_n, x_{n+1}]
}}}
Y para los valores negativos de x hacemos lo mismo pero usando el extremo superior del intervalo: {{{(+)}}}
{{{
        |  b_{q-1}*(x-x_q)
        |    + b_q*x_q                    ,,  x<:[x_{q-1}, x_q]
        |  b_{q-2}*(x-x_{q-1}) 
        |    + b_{q-1}*(x_{q-1}-x_q) 
        |    + b_q*x_q                    ,,  x<:[x_{q-2}, x_{q-1}]
        |  ...
        |  b_1*(x-x_2) 
        |    + b_2*(x_2-x_3) 
        |    + ... + b_q*x_q              ,,  x<:[x_1, x_2]
}}}
Podemos reagrupar los términos en función de los parámetros {{{b_k}}} del siguiente modo:
{{{
        |         / x_k - x_{k+1}   ,,  x<x_k
        |  b_k * |  x - x_{k+1}     ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]  ,,  k<q
        |         \ 0               ,,  x>x_{k+1}
        |         / x_k             ,,  x<x_k
E(x) = <|  b_k * |  x               ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]  ,, k==q
        |         \ x_{k+1}         ,,  x>x_{k+1}
        |         / 0               ,,  x<x_k
        |  b_k * |  x - x_k         ,,  x<:[x_k, x_{k+1}]  ,,  k>q
        |         \ x_{k+1} - x_k   ,,  x>x_{k+1}
}}} 

Estos nuevos inputs los podemos denominar transformaciones-piecewise del input o ''inputs-piecewise''.

=== Suma de las transformaciones-''piecewise'' del input ===

Podemos observar que el particionamiento del input, puede escribirse en los tres diferentes casos siguientes como:
{{{
si x <: [x_a, x_{a+1}]   ,,  a>q  ,,  0 <: [x_q, x_{q+1}]

         | 0             ,, k < q
P_k(x) = | x_{k+1}       ,, k == q
         | x_{k+1} - x_k ,, q < k < a
         | x - x_k       ,, k == a
         | 0             ,, k > a
}}}
{{{
si x <: [x_a, x_{a+1}]   ,,  a==q  ,,  0 <: [x_q, x_{q+1}]

         | 0             ,, k < q
P_k(x) = | x_{k+1}       ,, k == q
         | x_{k+1} - x_k ,, q < k < a
         | x - x_k       ,, k == a
         | 0             ,, k > a
}}}
{{{
si x <: [x_a, x_{a+1}]   ,,  a>q  ,,  0 <: [x_q, x_{q+1}]

         | 0           ,, k < q
P_k(x) = | x           ,, k == q
         | 0           ,, k > q
}}}
y comprobar que: {{{Sum_k(P_k(x)) == x}}}.