= Filtros no lineales =

'''Filtros no lineales en los términos explicativos'''

Denominamos filtro de un término explicativo a la parte que es multiplicada por el parámetro lineal.
{{{
ExpTerm = Parameter * Filter
}}}

No ha de condundirse con el filtro de un submodelo, que es la suma de todos los términos explicativos:
{{{
Output = Sum(ExpTerms) + Noise = Filter + Noise
}}}

En el caso de un término explicativo multilineal (con varios parámetros lineales) como 
es el caso de los términos omega, el filtro coincide coincide con aquel (no retardado) 
que estaría multiplicado por el parámetro de grado 0.

En los términos explicativos lineales (o multilineales), el filtro coincide con el input, de modo que:
{{{
ExpTerm.Linear = Parameter.Linear * Input
}}}
{{{
ExpTerm.Omega = TransferFuncion(Parameters.Linear) : Input
}}}

En general denominamos filtro no lineal a aquel filtro dependiente de uno nuevos
parámetros (denominados parámetros no lineales) que representa una relación no lineal con el input.

Nótese que si no intervienen nuevos parámetros (no lineales) no podemos hablar 
propiamente de un filtro no lineal, ya que el input transformado podría considerarse el input:
{{{
ExpTerm = Parameter * Function(Input1) = Parameter * Input2
}}}

En general, describimos un término explicativo no lineal como un término multilineal
sobre un filtro no lineal, con uno o varios parámetros no lineales y uno o varios inputs:
{{{
ExpTerm.NonLinear = TransferFuncion(Parameters.Linear) : Filter(Parameters.NonLinear, Inputs)
}}}

== Filtro delta ==

El filtro no lineal más común utilizado en el análisis de series temporales es aquél que se expresa mediante la relación:
{{{
Filter.Delta = (1-delta)/(1-delta*B) : Input
}}}

Nótese que lo hemos definido con una transferencia del input con ganancia unitaria.

Al tratarse de una ''integración'' el filtro necesita de una nueva constante de 
integración o inicialización del filtro, de modo que:
{{{
Filter_t - delta*Filter_{t-1} = (1-delta)*Input_t  ,,  Para todo t <: Dominio(Input)
}}}

Sea cual sea el dominio del input si denominamos {{{Input_1}}} al primer valor,
es necesario conocer el parámetro de incialización {{{Filter_0}}}. El resto de valores de 
{{{Filter_t}}} se determinan por recurrencia mediante:
{{{
Filter_t = (1-delta)*Input_t + delta * Filter_{t-1}  ,,  Para todo t <: Dominio(Input) = [1,T]
}}}

La aparición de este parámetro extra, a menudo no se considera, y esto puede ser 
acertado en algunas circuntancias:
 * (i) que el input sea realmente cero en los valores del input anteriores al primer valor conocido, o
 * (ii) que el primer valor conocido esté suficientemente lejos del comienzo del output analizado.
En estos casos el valor inicial del filtro puede considerarse 0.
En el primero (i) porque realmente lo es y en el segundo (ii) porque la elección de 
este valor inicial no llega a alterar los valores del filtro utilizados en el 
análisis (suficientemente alejados).

Así, el filtro delta, se caracteriza en general por depender de dos parámetros no lineales:
 * el parámetro delta, llamado así (al igual que el filtro) porque se utiliza comúnmente esta letra para representarlo y 
 * el parámetro de inicialización del filtro.

Si representamos y denominamos al parámetro de inicialización del filtro con la letra épsilon, podemos escribir:
{{{
Filter.Delta(delta, epsilon) = (1-delta)/(1-delta*B) |_epsilon : Input 
}}}
[[LatexEquation(\textrm{Delta}_t(\delta, \epsilon) = {\frac{1-\delta}{1-\delta B}}|_\epsilon : I_t)]]

A menudo se confunde la necesidad de conocer un primer valor del filtro (Filter_0) 
con conocer un valor del input anterior al primer valor conocido (Input_0). Hay que 
tener cuidado y no caer en esta confusión.

== Filtro delta-0 ==

Denominamos filtro delta-0 (delta-cero) a aquella variante del filtro delta cuyo parámetro de incialización se considera fijo e igual a 0.

Esta variante del filtro se caracteriza pues por tener sólo un parámetro: el parámetro delta.

{{{
Filter.Delta0(delta) = Filter.Delta(delta, 0) = (1-delta)/(1-delta*B) |_0 : Input
}}}
[[LatexEquation(\textrm{Delta0}_t(\delta) = \textrm{Delta}_t(\delta,0) = {\frac{1-\delta}{1-\delta B}}|_0 : I_t)]]