= Descomposiciones aditivas y DueTo's = A menudo, a partir de los resultados de la estimación de un submodelo (modelo de observaciones) se quiere obtener una descomposición de la variable observada como la suma de un conjunto de contribuciones. Esta descomposición aditiva se obtiene de un modo sencillo para los modelos aditivos (transformación identidad). Sin embargo para los modelos multiplicativos (transformación logarítmica) esta descomposición requiere de un mecanismo de descomposición particular. Aún más, dada una descomposición del submodelo, a menudo se desean construir otras descomposiciones, agregando temporalmente las variables o realizando un informe de DueTo's. A continuación describimos los distintos métodos para obtener descomposiciones y cómo éstos puede ser combinados para obtener el informa de resultados deseado. == Descomposición natural == En el marco de la definición de un modelo regresivo, unos datos (el output) vienen dados como la suma de unos efectos aditivos (relativos a los términos explicativos) más una componente de error (el noise). Esta componente del ruido contiene el efecto residual o efecto no explicado, junto a la estructura del ruido, que en el caso de los modelos ARIMA puede representar un valor de referencia, una tendencia y unos ciclos. De este modo, el submodelo o modelo de observaciones se puede escribir como una descomposición de la forma: {{{ output = noise + Sum(exp.terms) }}} === Descomposición simple === La descomposición más simple que podemos hacer de un modelo de observaciones es aquélla en la que el output se describe como la suma de dos sumandos, la componente del ruido (noise) y la suma de los efectos aditivos (filter): {{{ output = noise + filter }}} === Descomposiciones personalizadas === Agrupando los sumandos de acuerdo a un determinado criterio, podemos obtener descomposiciones personalizadas. === Otras descomposiciones === Si hacemos uso del concepto de residuos (residuals) podemos crear otras descomposiciones diviendo la componente de error en una componente residual y una componente predictiva: {{{ noise = noise.prediction + residuals }}} De este modo podemos encontrar descomposiciones como ésta: {{{ output = noise.prediction + filter + residuals = prediction + residuals }}} == Descomposición aditiva de submodelos multiplicativos == A menudo, para evitar la heterocedasticidad del error, o simplemente por la propia naturaleza del modelo, se introduce una transformación en la variable observada para construir el output. En estas circunstancias el output y las observaciones (observations) no coinciden: {{{ output = Transformation(observations) }}} y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural) no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición de la variable observada (u observaciones) en una descomposición no aditiva (multiplicativa en el caso de la transformación logarítmica). En estos casos, la descomposición aditiva de las observaciones ya no es trivial, y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla. El caso más común es la transformación logarítmica, y nos referiremos a ésta por comodidad, aunque los conceptos son aplicables a cualquier transformación. {{{ output = Log(observations) = noise + Suma(exp.terms) }}} === Descomposición secuencial === Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición aditiva de las observaciones introduciendo uno a uno los sumandos y determinando el efecto aditivo que les corresponde. Sea una descomposición (ordenada) del output: {{{ output = Sum(contributions) }}} podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una suma de efectos de las contribuciones (effects): {{{ observations = Transformation.Inverse(output) = Sum(effects) }}} de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea: {{{ effect.sequential_i = Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i)) - Transformation.Inverse(Sum(contributions,1,i-1)) }}} A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición secuencial" ya que depende del orden de las contribuciones de la descomposición de partida (descomposición del output). === Descomposición canónica === Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre el conjunto de premutaciones de las contribuciones: {{{ effect.canonical_i = < effect.sequential_i >_permutations }}} === Descomposiciones inexactas === Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución como si fuera la primera: {{{ effect.firstIn_i = Transformation.Inverse(contribution_i) }}} Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta dejando una diferencia conocida como sinergía: {{{ synergy = observations - Sum(effects.firstIn) }}} Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última): {{{ effect.marginal_i = observations - Transformation.Inverse(output-contribution_i) }}} Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales" presenta sinergía: {{{ synergy = observations - Sum(effects.marginal) }}} === Descomposiciones mixtas === Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente. Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una contribución principal (que habitualmente recoge la mayor parte de la descomposición) y sobre la que se quieren referir los efectos de las demás contribuciones. El efecto de esta contribución principal (conocida como base) se determina como si fuese una contribución primera, y el resto de contribuciones se calculan mediante otra descomposición (normalmente una libre de sinergía como la descomposición canónica). Sea una descomposición (con contribución principal) del output: {{{ output = base + Sum(contributions) }}} la descomposición de las observaciones: {{{ observations = effect.base + Sum(effects) }}} vendrá dada por: {{{ effect.base = Transformation.Inverse(base) }}} y los efectos obtenidos sobre una descomposición de las contribuciones restantes: {{{ (output-base) = Sum(contributions) }}} == Descomposición DueTo == Los informes o descomposiciones DueTo, pretenden comparar dos instantes de las observaciones, generalmente correlativos. La descomposición se hace refiriendo los valores de un instante a los de otro anterior, del modo siguiente: {{{ observations_0 = Sum(effects_0) observations_1 = Sum(effects_1) }}} {{{ observations_1 = observations_0 + Sum(Dif:effects) }}} donde: {{{Dif:x = x_1 - x_0}}} O utilizando polinomios de retardos: {{{ observations = B:observations + Sum((1-B):effects) }}} === Informe de DueTo porcentual === Una descomposición DueTo puede expresarse en porcentajes respecto al valor anterior como: {{{ (1-B):observations/B:observations % = Sub((1-B):effects/B:observations %) }}} === Cambio del dominio temporal de una descomposición === Sin embargo, en modelos con estacionalidades, el interés suele estar en comparar los valores correspondientes a dos ciclos o periodos correlativos y no a dos instantes correlativos. Para conseguir obtener un descomposición DueTo sobre los valores correspondientes a estos ciclos o periodos es necesario hacer un cambio previo del dominio temporal de la descomposición. === Otras descomposiciones DueTo === Además de hacer una descomposición de las observaciones comparándolas con un instante anterior, podemos obtener otras descomposiciones comparando cada contribución con su valor inicial o su valor medio: {{{ observations = S:observations + Sum((1-S):effects) }}} donde {{{S}}} sea sería un estadístico sobre la serie como su primer valor o su valor medio.