{{{
#!div style="width:50%; margin-left:20%; padding-left:2em; padding-right:2em"

= Descomposiciones aditivas y DueTo's =

A menudo, a partir de los resultados de la estimación de un submodelo
(modelo de observaciones) se quiere obtener una descomposición
de la variable observada como la suma de un conjunto de contribuciones.

Esta descomposición aditiva se obtiene de un modo sencillo para los
modelos aditivos (transformación identidad). Sin embargo para los
modelos multiplicativos (transformación logarítmica) esta descomposición
requiere de un mecanismo de descomposición particular.

Aún más, dada una descomposición del submodelo, a menudo se desean
construir otras descomposiciones, agregando temporalmente las variables
o realizando un informe de DueTo's.

A continuación describimos los distintos métodos para obtener descomposiciones
y cómo éstos puede ser combinados para obtener el informe de resultados deseado.

== Descomposición natural ==

En el marco de la definición de un modelo regresivo, unos datos (el output) 
vienen dados como la suma de unos efectos aditivos (relativos a los términos
explicativos) más una componente de error (el noise).
Esta componente del ruido contiene el efecto residual o efecto no explicado, 
junto a la estructura del ruido, que en el caso de los modelos ARIMA
puede representar un valor de referencia, una tendencia y unos ciclos.

De este modo, el submodelo o modelo de observaciones se puede escribir
como una descomposición de la forma:

             [[LatexEquation( Output = \sum_{i} Exp.Term_i + Noise)]]


  === -- Descomposición simple ===

La descomposición más simple que podemos hacer de un modelo de observaciones
es aquélla en la que el output se describe como la suma de dos sumandos,
la componente del ruido (noise) y la suma de los efectos aditivos (filter):

     [[LatexEquation(Output = Noise + Filter)]]


  === -- Descomposiciones personalizadas ===

Agrupando los sumandos de acuerdo a un determinado criterio, podemos obtener
descomposiciones personalizadas.

  === -- Otras descomposiciones ===

Si hacemos uso del concepto de residuos (residuals) podemos crear otras
descomposiciones separando la componente de error (noise) en una componente
residual y una componente predictiva (podemos realizar predicciones sobre esta componente):

  [[LatexEquation(Noise = Noise.Prediction + Residuals)]]

De este modo podemos encontrar descomposiciones como ésta:

  [[LatexEquation(Output = Noise.Pediction + Filter + Residual)]]

O sea, descompongo en parte predictiva y parte que no se puede predecir:

  [[LatexEquation(Output = Prediction + Residual)]]


== Descomposición aditiva de modelos multiplicativos ==

A menudo, para evitar la heterocedasticidad del error, o simplemente
por la propia naturaleza del modelo, se introduce una transformación
en la variable observada para construir el output.

En estas circunstancias el output y las observaciones (observations)
no coinciden:

   [[LatexEquation(Output = Transformation(Observations)=T(Observations) )]]

y del mismo modo la descomposición del output (descomposición natural)
no es válida para las observaciones, convirtiendose la descomposición 
de la variable observada (u observaciones) en una descomposición 
no aditiva (multiplicativa en el caso de la transformación logarítmica).

En estos casos, la descomposición aditiva de las observaciones
ya no es trivial, y es necesario definir adecuadamente cómo obtenerla.

El caso más común es la transformación logarítmica, aunque los conceptos 
son aplicables a cualquier transformación.

   [[LatexEquation(Output = Log(Observations) = Noise + \sum_{i} Exp.Term_i)]]


=== -- Descomposición ordenada ===

Dada una descomposición del output podemos obtener una descomposición
aditiva de las observaciones introduciendo uno a uno los sumandos
y determinando el efecto aditivo que les corresponde.

Sea una descomposición del output:

   [[LatexEquation(Output = \sum_{i} Cont_i)]]

donde  [[LatexEquation(Cont_i)]] representa la contribución i del  [[LatexEquation(Exp.Term_i)]] al output.

podemos encontrar una descomposición de las observaciones como una
suma de efectos de las contribuciones (effects):

[[LatexEquation(Observations = Transformation.Inverse(Output) = T^{-1}(Observarion) = \sum_{i}Effect_i)]]

de modo que el efecto de la contribución i-ésima sea:

[[LatexEquation(Effect.Ordered_i = T^{-1}(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(\sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]

A este tipo de descomposición se le conoce como "descomposición ordenada"
ya que depende del orden de las contribuciones de la descomposición de partida
(descomposición del output).

=== -- Efecto inicial de la transformación ===

En la descripción anterior hemos pasado por alto las consecuencias de
que la transformación inversa de 0 (el elemento neutro en la adición)
no sea 0: 
   [[LatexEquation(T^{-1}(0) \neq 0)]]


En este caso es necesario introducir un término de efectos adicional [[LatexEquation(Effect_0)]] en la descomposición:

   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0))]]

quedando:

   [[LatexEquation(Observations = Effect_0 + \sum_{i=1}^{N}Effect_i )]]


Para entender el significado de este effecto inicial, debemos prestar
atención a la naturaleza de este valor.
Sin embargo podemos imaginar que este valor corresponde con un valor
base o valor de referencia de la transformación.

'''CASO 1'''

Imaginemos un caso de transformación bastante sencillo, consistente en:

   [[LatexEquation(T(x) = x - x_0)]]

En este caso el efecto inicial causado por la transformación es:

   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = x_0)]]

que no hace más que introducir en la descomposición el valor de referencia
sustraido en la transformación.

'''CASO 2'''

Imaginemos ahora un de los casos más comunes: una transformación logarítmica:

   [[LatexEquation(T(x) = Log(x))]]

En este caso el efecto inicial causado por el logaritmo es:

   [[LatexEquation(Effect_0 = T^{-1}(0) = Exp(0) = 1)]]

de modo que la primera contribución será:

   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(Cont_1) - Exp(0))]]

Esta expressión puede verse como:

   [[LatexEquation(Effect.Ordered_1 = Exp(0) * ( Exp(Cont_1) -1) \sim Exp(0) * Cont_1)]]

e interpretar que el effecto inicial es un valor base sobre el que se
calculan el efecto de las demás contribuciones.

Por ello, habitualmente, en caso de existir este valor inicial se recoge
en una primera contribución o contribución principal conocida como base.

Véanse más adelante las "Descomposiciones base".

=== -- Descomposición canónica ===

Para evitar la dependencia con el orden de las contribuciones, se propone
con el nombre de descomposición canónica a la descomposición media sobre
el conjunto de permutaciones de las contribuciones:

[[LatexEquation(Effect.Canonical_i = \frac {\sum_{P} Effect.Ordered_i} {Card(P)})]]

donde [[LatexEquation(P)]] es el conjunto de las permutaciones de N elementos (N efectos) y [[LatexEquation(Card(P))]] es el cardinal de ese conjunto.
Es decir, es una media de todos los valores que toma el efecto i en cada permutación.


=== -- Descomposiciones inexactas ===

==== * Descomposición FirstIn (o de contribuciones primeras) ====

Otro modo de descomponer las observaciones evitando la necesidad de definir
un orden en las contribuciones es determinar el efecto de cada contribución
como si fuera la primera:

   [[LatexEquation(Effect.FirstIn_i = T^{-1}(Cont_i))]]

Sin embargo esta "descomposición de contribuciones primeras" no es exacta
dejando una diferencia conocida como sinergía:
  
   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.FirstIn_i)]]

 
==== * Descomposición Marginal (o de contribuciones marginales) ====

Del mismo modo que podemos tomar el efecto como si fuese la primera, podemos
tomar el efecto marginal (o efecto en el caso de que fuese la última):

   [[LatexEquation(Effect.Marginal_i = Observations - T^{-1}(Output - Cont_i))]]

Del mismo modo que la anterior la "descomposición de contribuciones marginales"
presenta sinergía:

   [[LatexEquation(Synergy = Observations - \sum_{i} Effect.Marginal_i)]]


=== -- Descomposiciones mixtas ===

Además de las descomposiciones anteriores, podemos definir descomposiciones mixtas
dónde el efecto de cada contribución pueda ser calculado con un criterio diferente.

=== -- Descomposiciones base ===

Una de las descomposiciones mixtas más comunes, es aquélla en la que hay una
contribución principal (que habitualmente recoge la mayor parte de la descomposición)
y sobre la que se quieren referir los efectos de las demás contribuciones.

El efecto de esta contribución principal (conocida como base) se determina como si 
fuese una contribución primera, y el resto de contribuciones se calculan mediante
otra descomposición (normalmente una libre de sinergía como la descomposición canónica).
El efecto de esta contribución base asume además el valor del efecto inicial causado
por la transformación (en caso de existir).

Sea una descomposición (con contribución principal) del output:

   [[LatexEquation(Output = Base + \sum_{i} Cont_i)]]

la descomposición de las observaciones:

   [[LatexEquation(Observations = Effect.Base + \sum_{i} Effect_i)]]

vendrá dada por:

   [[LatexEquation(Effect.Base = T^{-1}(Base))]]

y los efectos obtenidos sobre la descomposición de las contribuciones 
restantes considerando la base como contribución primera.

Por ejemplo el efecto de las contribuciones ordenadas sería:

[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - T^{-1}(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j))]]

que en el caso de una transformación logarítmica se puede escribir como:

[[LatexEquation(Effect.Base.Ordered_i = Exp(Base + \sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(Base + \sum_{j=1}^{i-1}Cont_j) = )]]
[[LatexEquation(= Exp(Base) * [Exp(\sum_{j=1}^{i}Cont_j) - Exp(\sum_{j=1}^{i-1} Cont_j)] = Effect.Base * Effect.Ordered_i)]]

En el caso logarítmico este resultado es general y puede aplicarse a otras
descomposiciones de las componentes restantes como una descomposición canónica:

   [[LatexEquation(Effect.Base.Canonical_i = Effect.Base * Effect.Canonical_i)]]


=== -- Descomposiciones modificadas ===

Algunas de las descomposiciones anteriores se caracterizan por presentar contribuciones
adicionales como el efecto inicial de la transformación o la sinergía de la descomposición.

Estas decomposiciones pueden modificarse, distribuyendo estas contribuciones entre el resto
del siguiente modo:

Sea una descomposición:

   [[LatexEquation(Observation = \sum_{i} Effect_i = Effect.Extra)]]

donde el efecto extraordinario    [[LatexEquation(Effect.Extra)]] corresponde el efecto 
(o suma de efectos) que desea eliminarse.

La nueva descomposición libre de efectos extraordinarios será:

   [[LatexEquation(Observations = \sum_{i} Effect.Modified_i)]]

donde cada effecto modificado tiene la forma:

   [[LatexEquation(Effect.Modified_i = Effect_i *(\frac {Observations} {Observations - Effect.Extra}))]]


== Descomposición DueTo ==

Los informes o descomposiciones DueTo, pretenden comparar dos instantes
de las observaciones, generalmente correlativos.

La descomposición se hace refiriendo los valores de un instante a los de 
otro anterior, del modo siguiente:

[[LatexEquation(Observations_0 = \sum_{i}Effect_{i0})]]
[[LatexEquation(Observations_1 = \sum_{i}Effect_{i1})]]

Entonces:

[[LatexEquation(Observations_1 = Observations_0 + \sum_{i}(Effect_{i1} - Effect_{i0}))]]


O utilizando polinomios de retardos:

[[LatexEquation(Observations = B:Observations + \sum_{i} (1-B):Effect_i)]]

donde [[LatexEquation(B:X_i=X_{i-1})]]

=== -- Informe de DueTo porcentual ===

Una descomposición DueTo puede expresarse en porcentajes respecto al
valor anterior como:
  
  [[LatexEquation(\frac{(1-B):Observations} {B:Observations} \% = \sum_{i}(\frac{(1-B):Effect_i} {B:Observations}) \%)]]

que ésto es:

  [[LatexEquation(\frac{ Obs_t - Obs_{t-1}} { Obs_{t-1} } \%= \sum_{i} \frac{Effect_{it} - Effect_{i(t-1)}} { Obs_{t-1} } \%)]]

=== -- Cambio del dominio temporal de una descomposición ===

Sin embargo, en modelos con estacionalidades, el interés suele estar
en comparar los valores correspondientes a dos ciclos o periodos correlativos
y no a dos instantes correlativos.

Para conseguir obtener un descomposición DueTo sobre los valores correspondientes
a estos ciclos o periodos es necesario hacer un cambio previo del dominio temporal
de la descomposición.

=== -- Otras descomposiciones DueTo ===

Además de hacer una descomposición de las observaciones comparándolas
con un instante anterior, podemos obtener otras descomposiciones
comparando cada contribución con su valor inicial o su valor medio:

   [[LatexEquation(Observations = S:Observations + \sum_{i} (1-S):Effect_i)]]

donde [[LatexEquation(S)]] sea un estadístico sobre la serie
como su primer valor o su valor medio.

== Descomposición secuencial ==

Un tipo de descomposición especial puede obtenerse a partir de una descomposición
DueTo de las observaciones realizada directamente sobre una descomposición del output.
En general las denominaremos descomposiciones DueTo generalizadas.

Una descomposición DueTo generalizada muy particular es aquélla que nos permite
utilizar las diferencias del modelo para obtener un descomposición DueTo.

Sea una descomposición:

   [[LatexEquation( Output = \sum_i Cont_i )]]

procedente de un modelo en el que la diferencia del output se expresaba como:

   [[LatexEquation(Dif:Output) = \sum_i Dif:Cont_i)]]

donde el operador [[LatexEquation(Dif)]] expresa una diferencia entre un valor y otro anterior
del siguiente modo:

   [[LatexEquation(Dif = 1 - B^*)]]

Podemos encontrar una descomposición DueTo de las observaciones

   [[LatexEquation( Observations = B^*:Observations + \sum_i Dif:Effect_i)]] 

sin necesidad de conocer explícitamente los efectos [[LatexEquation(Effect_i)]] del siguiente modo:

   [[LatexEquation( Dif:Effect_i = Dif:Cont_i * \frac {Dif:Observations}{Dif:Output})]]


Aún más, a partir de esta descomposición DueTo podemos encontrar una descomposición
completa (sin diferencias) si conocemos determinados valores iniciales de esta descomposición.

La descomposición resultante, conocida con el nombre de "descomposición secuencial":

   [[LatexEquation( Observations = \sum_i Effect_i)]]

vendrá dada por los efectos calculados a partir de las diferencias [[LatexEquation(Dif:Effect_i)]].

La descomposición DueTo de partida es conocida como asimismo como "DueTo secuencial".

== Ejercicios de descomposición ==

Todas estas descomposiciones pueden combinarse hasta obtener un informe
acorde a un determinado objetivo.

Por ejemplo:

'''1.''' En primer lugar obtendríamos una descomposición personalizada del output
en la que definiríamos las componentes deseadas.
Por ejemplo podríamos tomar una primera componente denominada "Base" con la
componente del ruido (noise) y unos términos explicativos relativos a variables
calendario, y por otro lado el resto de términos explicativos agrupados en subfiltros
según su naturaleza:

   [[LatexEquation( Output = Base + \sum_i Subfilter_i)]]


'''2.''' En segundo lugar, suponiendo que nuestro modelo no es aditivo, obtendríamos
una descomposición de las observaciones usando una descomposición base-canónica
usando la componente "Base" como componente principal:

   [[LatexEquation(Observations = Effect.Base + \sum_i Effect_i)]]


'''3.''' Después, suponiendo que nuestro interés está en los agregados anuales
de las observaciones hacemos un cambio de fechado:

   [[LatexEquation( Observations_Y = Effect.Base_Y + \sum_i Effect_{i,Y})]] 


'''4.''' Finalmente obtenemos una descomposición DueTo relativa al año anterior
del siguiente modo:

[[LatexEquation( Observations_Y = B:Observations_Y + (1-B):Effect.Base_Y + \sum_i (1-B):Effect_{i,Y} = )]]
[[LatexEquation(= Pre.Observation_y + Dif.Effect.Base_Y + \sum(Dif.Effect_{i,Y})]]   


== Documentación relacionada ==

La documentación relacionada que se ha conseguido recopilar está en:
 \\nas.localbayes.es\BDR\mms\Documents\Decompositions

Cualquier otro documento que se disponga relativo a las descomposiciones
será bien recibido.

}}}