= Combinaciones de variables aleatorias. Combinaciones de previsiones =

== Definición ==

Las combinaciones de previsiones, y en general de variables aleatorias,
se definen como un sistema de ecuaciones lineales (generalmente indeterminado)
sobre un conjunto de variables aleatorias (o previsiones) para las que se 
dispone información a priori sobre su distribución.

El sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, 
dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.

Comúnmente la solución de la combinación se plantea como aquélla que satisfaciendo 
el sistema de ecuaciones es más cercana (según la [http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis]) a
las medias a priori de las variables aleatorias.

Formalmente la solución sería un conjunto de variables aleatorias restringida
al espacio de soluciones y cuya distribución de probabilidad está condicionada
a las distribuciones de partida o a priori.

(¡VERIFICAR QUE ESTO ES CIERTO!) 
Merece la pena mencionar que la solución determinista encontrada al minimizar
la distancia de Mahalanobis coincide con la solución formada por las medias
de estas distribuciones a posteriori de las variables aleatorias.

A continuación planteamos el ejercicio de combinaciones más simple que podemos imaginar
y que puede sernos útil para aclarar conceptos y para encontrar algunos resultados 
que pueden extenderse a combinaciones más complejas.

== Igualdad de variables aleatorias ==

El ejercicio más simple (no trivial) que podemos imaginar es aquel formado
por dos variables aleatorias (de tipo real) que siguen sendas distribuciones
normales (e independientes) sujeta a la restricción de ser iguales.

Dadas vA y vB (variables a priori):
{{{
vA ~ N(muA, sigmaA)
vB ~ N(muB, sigmaB)
}}}
encontrar las wA y wB (variables a posteriori) que satisfagan:
{{{
wA == wB
}}}

=== Solución determinista ===

El método utilizado para encontrar la solución determinista 
(no como variables aleatorias) del sistema es reducir la 
[http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] 
de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):

{{{
Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Mu-Z)'·Sigma2**-1·(Mu-Z))
}}}
donde Mu y Z son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
{{{
Mu' = (muA, muB)
Z' = (zA, zB)
Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
}}}

La solución de minimizar la distancia:
{{{
Dist(Mu, Sigma2, Z)
}}}
sujeta al sistema de ecuaciones:
{{{
B·Z == C
}}}
viene dad por:
{{{
Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
}}}

En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:
{{{
B = (1, -1)
C = (0)
}}}
de modo que la solución encontrada es:
{{{
zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
}}}
y simplificando:
{{{
z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
}}}
Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas
de las varianzas de los valores muA y muB:
{{{
z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)
}}}