Changes between Version 6 and Version 7 of Combinations

Timestamp:

Aug 25, 2010, 11:59:41 AM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations

@@ -187 +187 @@
 }}}
 
-
+=== Solución como variables aleatorias ===
+
+Como hicimos antes ahora planteamos la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
+
+Dada la simetría de la combinación, la solución para una de las variables nos valdrá para
+las demás, modificándola convenientemente.
+
+La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
+una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
+y el resto de información a priori.
+
+Mientras que en el ejemplo anterior la restricción formaba un espacio con un grado de libertad,
+en el ejemplo que nos ocupa el espacio tiene dos grados de libertad, de modo que para un valor
+de la variable A encontramos toda una recta de valores de las variables B y C compatibles.
+
+Así pues podemos escribir la función de densidad a posteriori de la
+variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
+función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (a*wA+b*wB+c*wC==d) que podemos escribir como:
+{{{
+fvBC(x) = Integrate(fNormal(muB, sigmaB, y) * fNormal(muB, sigmaB, (d-a*x-b*y)/c), {y, -infinite, infinite})
+}}}:
+de modo que:
+{{{
+fwA(x) = k * fvA(x) * fvBC(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fvBC(x)
+}}}
+
+Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
+{{{
+wA ~ N(muA_BC, sigmaA_BC)
+}}}
+con los siguientes parámetros:
+{{{
+muA_BC = (a * (d - b*muB - c*muC) * sigmaA**2 + muA * ((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2))  / ((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
+sigmaA_BC = sigmaA * Sqrt((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2) / Sqrt((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
+}}}
+
+Se puede comprobar que esta solución es coherente con el resultado del ejemplo anterior y para los valores:
+{{{
+a=1
+b=-1
+c=0
+d=0
+}}}
+se obtiene:
+{{{
+muA_BC = (- muB * sigmaA**2 + muA * sigmaB**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
+sigmaA_BC = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
+}}}
+
+Utilizando la simetría de la combinación podemos obtener las restantes variables como:
+{{{
+wA ~ N(muA_post, sigmaA_post)
+wB ~ N(muB_post, sigmaB_post)
+wC ~ N(muC_post, sigmaC_post)
+}}}
+cuyos parámetros se pueden escribir como:
+{{{
+muX_post = (x * (Dm + x*muX) * sigmaX**2 + muX * (S2 - (X*sigmaX)**2))  / (S2)
+sigmaX_post = sigmaX * Sqrt(S2 - (x*sigmaX)**2) / Sqrt(S2)
+}}}
+donde:
+{{{
+S2 := (a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2
+Dm := d-a*muA-b*muB-c*muC
+}}}
+sustituyendo 'x' y 'X' por 'a', 'b' o 'c' y 'A', 'B' o 'C' respectivamente.
+
+
+