Changes between Version 5 and Version 6 of Combinations

Timestamp:

Aug 25, 2010, 11:30:22 AM (15 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations

@@ -53 +53 @@
 
 {{{
-Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Mu-Z)'·Sigma2**-1·(Mu-Z))
+Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma2**-1·(Z-Mu))
 }}}
-donde Mu y Z son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
+donde Z y Mu son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
 {{{
+Z' = (zA, zB)
 Mu' = (muA, muB)
-Z' = (zA, zB)
 Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
 }}}
@@ -95 +95 @@
 }}}
 
-== Solución como variables aleatorias ==
+=== Solución como variables aleatorias ===
 
 Planteamos ahora la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
@@ -112 +112 @@
 
 {{{
-fwA(x) = k · fvA(x) · fvB(x) = k · fNormal(muA, sigmaA, x) · fNormal(muB, sigmaB, x)
+fwA(x) = k * fvA(x) * fvB(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x)
 }}}
 
@@ -140 +140 @@
 la solución obtenida minimizando la distancia de Mahalanobis.
 
+== Combinación de variables con una sóla ecuación ==
+
+Otro ejercicio bastante sencillo que podemos imaginar es aquel formado
+por un conjunto de variables aleatorias (de tipo real) que siguen distribuciones
+normales (e independientes) sujetas a una restricción formada por una sola ecuación.
+
+=== Caso de tres variables ===
+
+Por sencillez trataremos detalladamente el caso de tres variables:
+
+Dadas vA, vB y vC (variables a priori):
+{{{
+vA ~ N(muA, sigmaA)
+vB ~ N(muB, sigmaB)
+vC ~ N(muC, sigmaC)
+}}}
+encontrar las wA, wB y wC (variables a posteriori) que satisfagan:
+{{{
+a*wA + b*wB + c*wC == d
+}}}
+
+=== Solución determinista ===
+
+De acuerdo al método utilizado para encontrar la solución determinista 
+(no como variables aleatorias) del sistema reduciendo la 
+distacia de Mahalanobis de la solución Z al punto de partida Mu:
+{{{
+Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
+}}}
+donde:
+{{{
+Z' = (zA, zB, zC)
+Mu' = (muA, muB, muC)
+Sigma2 = ((sigmaA**2, 0, 0), (0, sigmaB**2, 0), (0, 0, sigmaC**2))
+}}}
+y utilizando la restricción:
+{{{
+B = ((a, b, c))
+C = ((d))
+}}}
+encontramos:
+{{{
+    { zA = muA + a * sigmaA**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+Z = { zB = muB + b * sigmaB**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+    { zC = muC + c * sigmaC**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+}}}
 
 
-