Changes between Version 22 and Version 23 of Combinations

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Sep 17, 2010, 4:49:59 PM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations

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 === Generalización ===
+
 El problema de la combinación de variables aleatorias se puede generalizar introduciendo restricciones de dominio sobre las variables de modo que la combinación se puede describir como un conjunto de variables aleatorias cuya distribución a priori es conocida, sujetas a un conjunto de restricciones de igualdad y de dominio.
+
+=== Solución de la combinación ===
+
+Uno de los ejercicios más habituales por su sencillez es encontrar simplemente un valor determinista (un estadístico) para la combinación de variables. El estadístico buscado podría ser la media, el valor más probable (la moda) o incluso la mediana, aunque en el caso de variables aleatorias normales estos tres coinciden.
+
+Para un conjunto de variables normales la solución determinista buscada es aquélla que minimiza [http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distancia de Mahalanobis]) a las medias de las distribuciones a priori de las variables aleatorias.
+
+Formalmente la solución sería un conjunto de variables aleatorias restringidas al espacio de soluciones y cuya distribución de probabilidad está condicionada a las distribuciones de partida o a priori.
+
+Merece la pena mencionar que la solución determinista encontrada al minimizar la distancia de Mahalanobis para un conjunto de variables aleatorias normales coincide con las medias de las distribuciones a posteriori de estas variables aleatorias. 
 
 == Combinación lineal de variables aleatorias ==
 
-Un caso particular y especialmente común de la combinación de variables aleatorias es aquél
-en el que la restricción viene dada por un sistema de ecuaciones lineales.
+Un caso particular y especialmente común de la combinación de variables aleatorias es aquél 
+en el que la restricción viene dada por un sistema de ecuaciones lineales. 
 Este sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, 
 dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.
 
-=== Solución de la combinación ===
+Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
+{{{
+V ~ Normal(Mu, Sigma)
+}}}
+donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
+{{{
+B · V = C
+}}}
+un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
+matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.
 
-Comúnmente la solución de la combinación se plantea de manera determinista como aquel conjunto de valores de las variables aleatorias que satisfaciendo 
-las restricciones es más cercano (según la [http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distancia de Mahalanobis]) a
-las medias de las distribuciones a priori de las variables aleatorias.
+=== Solución ===
 
-Formalmente la solución sería un conjunto de variables aleatorias restringida
-al espacio de soluciones y cuya distribución de probabilidad está condicionada
-a las distribuciones de partida o a priori.
-
-Merece la pena mencionar que la solución determinista encontrada al minimizar
-la distancia de Mahalanobis coincide con la solución formada por las medias
-de estas distribuciones a posteriori de las variables aleatorias.
+ * [wiki:Combinations/LinearNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias normales]
 
 === Ejercicios ===
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 que pueden extenderse a combinaciones más complejas.
 
-Para terminar profundizamos en la resolución de la combinación mediante una solución determinista
-y analizamos algunas situaciones particulares.
+ * [wiki:Combinations/TwoVariablesEquality Igualdad de variables aleatorias]
+ * [wiki:Combinations/OneLinearEquation Combinación de variables con una sóla ecuación lineal]
 
-== Igualdad de variables aleatorias ==
+== Otros temas ==
 
-[wiki:Combinations/TwoVariablesEquality Igualdad de variables aleatorias]
+ * [wiki:Combinations/DeterministicSolution Solución deterministaa la combinación de variables aleatorias]
+ * [wiki:Combinations/LinearTransNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales]
+ * [wiki:Combinations/SeparableCombination Combinación de variables aleatorias separable]
 
-== Combinación de variables con una sóla ecuación lineal ==
+== Temas para su desarrollo ==
 
-[wiki:Combinations/OneLinearEquation Combinación de variables con una sóla ecuación lineal]
+Este documentación puede ampliarse con otros puntos de gran interés en la combinación de variables aleatorias como:
+ * La resolución de las combinaciones lineales cuando la matriz de restricciones no tiene rango completo: uso de la pseudoinversa.
+ * La deducción de la matriz de covarianzas en el caso de las combinaciones lineales de variables trans-normales e interpretación de la solución determinista.
+ * El caso particular de las combinaciones de variables aleatorias que presentan estructura ARIMA.
+ * Descripción de las funciones implentadas en SADD en los términos expuestos.
+ * Las combinaciones de variables aleatorias de tipo serie temporal. Combinaciones en distintos fechados. 
+ * Las combinaciones de variables aleatorias con una distribución no relacionada con la distribución normal.
+ * Las combinaciones de variables en caso de restricciones especiales: restricción sobre dominios cerrados, etc.
+ * Las combinaciones de variables para las que se conoce una muestra. Solución utilizando sus estadísticos bajo la hipótesis de normalidad. Nuevos métodos de resolución.
+ * Las combinaciones generalizadas con restricciones de dominio.
 
-== Solución determinista == 
 
-[wiki:Combinations/DeterministicSolution Solución determinista]
- * [wiki:Combinations/LinearNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias normales]
- * [wiki:Combinations/SeparableCombination Combinación de variables aleatorias separable]
- * [wiki:Combinations/LinearTransNormalSolution Combinación lineal de variables aleatorias trans-normales]
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