Changes between Version 1 and Version 2 of Combinations

Timestamp:

Aug 25, 2010, 8:13:14 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

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Combinations

@@ -13 +13 @@
 
 Comúnmente la solución de la combinación se plantea como aquélla que satisfaciendo 
-el sistema de ecuaciones es más cercana (según la distacia de Mahalanobis) a
+el sistema de ecuaciones es más cercana (según la [http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis]) a
 las medias a priori de las variables aleatorias.
 
@@ -44 +44 @@
 wA == wB
 }}}
+
+=== Solución determinista ===
+
+El método utilizado para encontrar la solución determinista 
+(no como variables aleatorias) del sistema es reducir la 
+[http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] 
+de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):
+
+{{{
+Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Mu-Z)'·Sigma2**-1·(Mu-Z))
+}}}
+donde Mu y Z son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
+{{{
+Mu' = (muA, muB)
+Z' = (zA, zB)
+Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
+}}}
+
+La solución de minimizar la distancia:
+{{{
+Dist(Mu, Sigma2, Z)
+}}}
+sujeta al sistema de ecuaciones:
+{{{
+B·Z == C
+}}}
+viene dad por:
+{{{
+Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
+}}}
+
+En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:
+{{{
+B = (1, -1)
+C = (0)
+}}}
+de modo que la solución encontrada es:
+{{{
+zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
+zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
+}}}
+y simplificando:
+{{{
+z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
+}}}
+Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas
+de las varianzas de los valores muA y muB:
+{{{
+z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)
+}}}
+
+