= Combinación de variables aleatorias =

== Igualdad de variables aleatorias ==

El ejercicio más simple (no trivial) que podemos imaginar es aquel formado
por dos variables aleatorias (de tipo real) que siguen sendas distribuciones
normales (e independientes) sujeta a la restricción de ser iguales.

Dadas vA y vB (variables a priori):
{{{
vA ~ N(muA, sigmaA)
vB ~ N(muB, sigmaB)
}}}
encontrar las wA y wB (variables a posteriori) que satisfagan:
{{{
wA == wB
}}}

=== Solución determinista ===

El método utilizado para encontrar la solución determinista 
(no como variables aleatorias) del sistema es reducir la 
[http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] 
de la solución (zA, zB) al punto de partida (muA, muB):

{{{
Dist(Mu, Sigma2, Z) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma2**-1·(Z-Mu))
}}}
donde Z y Mu son dos vectores columna y Sigma2 una matriz de covarianzas:
{{{
Z' = (zA, zB)
Mu' = (muA, muB)
Sigma2 = ((sigmaA**2, 0), (0, sigmaB**2))
}}}

La solución de minimizar la distancia:
{{{
Dist(Mu, Sigma2, Z)
}}}
sujeta al sistema de ecuaciones:
{{{
B·Z == C
}}}
viene dada por:
{{{
Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
}}}

En nuestro ejemplo, las matrices B y C son:
{{{
B = (1, -1)
C = (0)
}}}
de modo que la solución encontrada es:
{{{
zA = muA + sigmaA**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
zB = muB - sigmaB**2 * (muB-muA) / (sigmaA**2+sigmaB**2)
}}}
y simplificando:
{{{
z = zA = zB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
}}}
Nótese que este resultado puede verse como una media ponderada con las inversas
de las varianzas de los valores muA y muB:
{{{
z = (muA * sigmaA**-2 + muB * sigmaB**-2) / (sigmaA**-2 + sigmaB**-2)
}}}

=== Solución como variables aleatorias ===

Planteamos ahora la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.

Dada que la combinación es una igualdad entre dos variables aleatorias, la solución
encontrada para una será también la de la otra y la correlación entre ellas será 1.

La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
y el resto de información a priori.

En este caso sencillo podríamos escribir la función de densidad a posteriori de la
variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (wA==wB) que no es otra
que la función de densidad a priori de la varible B (fvB):

{{{
fwA(x) = k * fvA(x) * fvB(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x)
}}}

Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
{{{
wA ~ N(muAB, sigmaAB)
}}}
con los siguientes parámetros:
{{{
muAB = (muA * sigmaB**2 + muB * sigmaA**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
sigmaAB = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
}}}

De modo que la solución a la combinación será:
{{{
w = wA = wB ~ N(muAB, sigmaAB)
}}}

En modo matricial podemos representarlo como:
{{{
Mu_W' = (muAB, muAB)
Sigma2_W = ((sigmaAB, sigmaAB), (sigmaAB, sigmaAB))
}}}

Nótese que esta solución nos ofrece como valores medios 
y también como valores más probables (modas)
la solución obtenida minimizando la distancia de Mahalanobis.

=== Nota matemática ===

En las ecuaciones y cálculos anteriores se han utilizado las siguientes relaciones:
{{{
fNormal(mu, sigma, x+b) == fNormal(mu-b, sigma, x)
fNormal(mu, sigma, -x) == fNormal(-mu, sigma, x)
fNormal(mu, sigma, a*x) == fNormal(mu/a, sigma/a, x)/a ; con a>0
}}}
donde:
{{{
fNormal(mu, sigma, x) := 1/(Sqrt(2*Pi)*Sigma) * Exp(-(1/2)*((x-mu)/sigma)**2)
}}}
y también el siguiente resultado que nos permite multiplicar dos funciones de densidad normales:
{{{
fNormal(muA, sigmaA, x) * fNormal(muB, sigmaB, x) ==
fNormal((muA*sigmaB**2 + muB*sigmaA**2)/sigmaAB**2, sigmaA*sigmaB/sigmaAB, x) * fNormal(muA-muB, sigmaAB, 0)
}}}
donde:
{{{
sigmaAB = Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
}}}