= Combinación de variables aleatorias =

== Combinación de variables aleatorias separable ==

En general el problema de encontrar una [wiki:Combinations/DeterministicSolution solución determinista] para una combinación de variables aleatorias
no puede resolverse mediante un algoritmo de optimización.

Sin embargo hay un caso particular, que denominaremos combinación separable y que se encuentra a menudo en modelación, que sí puede resolverse.

Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
}}}
donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y sea
{{{
F(V1) = V2
}}}
una restricción separable, donde {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} son dos subconjuntos complementarios de {{{V (n=n1+n2x1)}}}:
{{{
V' = (V1', V2')
}}}

La condición de encontrar el valor {{{Z}}} que minimice la distancia:
{{{
distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt((Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu))
}}}
sujeta a las restricciones anteriores puede escribirse como la minimización
de una función de Z1 no restringida:
{{{
min. (Mu-Z(Z1))'·Sigma**-1·(Mu-Z(Z1))
}}}
donde:
{{{
Z(Z1)' = (Z1', F(Z1)') 
}}}

Una vez encontrado el valor de {{{Z1}}} que minimiza la distancia, el valor de las variables separadas 
{{{Z2}}} se obtiene mediante la ecuación de la restricción:
{{{
Z2 = F(Z1)
}}}

=== Combinación lineal de variables aleatorias separable ===

Un caso muy común de combinación separable es aquel en el que la restricción es lineal pudiéndose escribir de la forma:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
A·V1 + B = V2
}}}
donde {{{V'=(V1,V2)'}}} es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} y
{{{A (n1xn1)}}} y {{{B (n1x1)}}} son las matrices de la restricción lineal.
Nótese que el número de variables separadas {{{V2}}} es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices {{{A}}} y {{{B}}}).