= Combinación de variables aleatorias =

== Combinación de variables aleatorias separable ==

En general el problema de encontrar una solución determinista para una combinación de variables aleatorias
no puede resolverse mediante un algoritmo de optimización.

Sin embargo hay un caso particular, que denominaremos combinación separable y que se encuentra a menudo en modelación, que sí puede resolverse.

Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
}}}
donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y sea
{{{
F(V1) = V2
}}}
una restricción separable, donde {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} son dos subconjuntos complementarios de {{{V (n=n1+n2x1)}}}:
{{{
V' = (V1', V2')
}}}

La condición de encontrar el valor {{{Nu}}} que minimice la distancia:
{{{
distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
}}}
sujeta a las restricciones anteriores puede escribirse como la minimización
de una función de N1 no restringida
{{{
min. (Mu-Nu(Nu1))'·Sigma**-1·(Mu-Nu(Nu1))
}}}
donde
{{{
Nu(Nu1)' = (Nu1', F(Nu1)') 
}}}

=== Combinación lineal de variables aleatorias separable ===

Un caso muy común de combinación separable es aquel en el que la restricción es lineal pudiéndose escribir de la forma:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
A·V1 + B = V2
}}}
donde {{{V'=(V1,V2)'}}} es el conjunto de variables aleatorias separadas en dos subconjuntos {{{V1 (n1x1)}}} y {{{V2 (n2x1)}}} y
{{{A (n1xn1)}}} y {{{B (n1x1)}}} son las matrices de la restricción lineal.
Nótese que el número de variables separadas {{{V2}}} es igual al número de restricciones lineales (dimensiones de las matrices {{{A}}} y {{{B}}}).