Changes between Initial Version and Version 1 of Combinations/OneLinearEquation

Timestamp:

Sep 14, 2010, 6:43:39 AM (14 years ago)

Author:

Pedro Gea

Comment:

--

Combinations/OneLinearEquation

@@ +1 @@
+
+= Combinación de variables =
+
+== Combinación de variables con una sóla ecuación ==
+
+Otro ejercicio bastante sencillo que podemos imaginar es aquel formado
+por un conjunto de variables aleatorias (de tipo real) que siguen distribuciones
+normales (e independientes) sujetas a una restricción formada por una sola ecuación.
+
+=== Caso de tres variables ===
+
+Por sencillez trataremos detalladamente el caso de tres variables:
+
+Dadas vA, vB y vC (variables a priori):
+{{{
+vA ~ N(muA, sigmaA)
+vB ~ N(muB, sigmaB)
+vC ~ N(muC, sigmaC)
+}}}
+encontrar las wA, wB y wC (variables a posteriori) que satisfagan:
+{{{
+a*wA + b*wB + c*wC == d
+}}}
+
+=== Solución determinista ===
+
+De acuerdo al método utilizado para encontrar la solución determinista 
+(no como variables aleatorias) del sistema reduciendo la 
+distacia de Mahalanobis de la solución Z al punto de partida Mu:
+{{{
+Z = Sigma2·B' · (B·Sigma2·B')**-1 · (C-B·Mu) + Mu
+}}}
+donde:
+{{{
+Z' = (zA, zB, zC)
+Mu' = (muA, muB, muC)
+Sigma2 = ((sigmaA**2, 0, 0), (0, sigmaB**2, 0), (0, 0, sigmaC**2))
+}}}
+y utilizando la restricción:
+{{{
+B = ((a, b, c))
+C = ((d))
+}}}
+encontramos:
+{{{
+    { zA = muA + a * sigmaA**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+Z = { zB = muB + b * sigmaB**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+    { zC = muC + c * sigmaC**2 * (d - a*muA - b*muB - c*muC) / (a*sigmaA**2 + b*sigmaB**2 + c*sigmaC**2)
+}}}
+
+=== Solución como variables aleatorias ===
+
+Como hicimos antes ahora planteamos la solución a la combinación desde un punto de vista estadístico.
+
+Dada la simetría de la combinación, la solución para una de las variables nos valdrá para
+las demás, modificándola convenientemente.
+
+La distribución a posteriori para la variable A viene dada por dos contribuciones:
+una debida a su información a priori (vA) y otra causada por el sistema de ecuaciones
+y el resto de información a priori.
+
+Mientras que en el ejemplo anterior la restricción formaba un espacio con un grado de libertad,
+en el ejemplo que nos ocupa el espacio tiene dos grados de libertad, de modo que para un valor
+de la variable A encontramos toda una recta de valores de las variables B y C compatibles.
+
+Así pues podemos escribir la función de densidad a posteriori de la
+variable A (fwA) proporcional al producto de su función de densidad a priori (fvA) y la
+función de densidad a priori obtenida mediante la ecuación (a*wA+b*wB+c*wC==d) que podemos escribir como:
+{{{
+fvBC(x) = Integrate(fNormal(muB, sigmaB, y) * fNormal(muB, sigmaB, (d-a*x-b*y)/c), {y, -infinite, infinite})
+}}}
+de modo que:
+{{{
+fwA(x) = k * fvA(x) * fvBC(x) = k * fNormal(muA, sigmaA, x) * fvBC(x)
+}}}
+
+Se puede comprobar que esta función de densidad es la de una distribución normal:
+{{{
+wA ~ N(muA_BC, sigmaA_BC)
+}}}
+con los siguientes parámetros:
+{{{
+muA_BC = (a * (d - b*muB - c*muC) * sigmaA**2 + muA * ((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2))  / ((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
+sigmaA_BC = sigmaA * Sqrt((b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2) / Sqrt((a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2)
+}}}
+
+Se puede comprobar que esta solución es coherente con el resultado del ejemplo anterior. Usando los valores:
+a=1, b=-1, c=0 y d=0 se obtiene:
+{{{
+muA_BC = (- muB * sigmaA**2 + muA * sigmaB**2) / (sigmaA**2 + sigmaB**2)
+sigmaA_BC = sigmaA * sigmaB / Sqrt(sigmaA**2 + sigmaB**2)
+}}}
+
+Utilizando la simetría de la combinación podemos obtener las restantes variables como:
+{{{
+wA ~ N(muA_post, sigmaA_post)
+wB ~ N(muB_post, sigmaB_post)
+wC ~ N(muC_post, sigmaC_post)
+}}}
+cuyos parámetros se pueden escribir como:
+{{{
+muX_post = (x * (Dm + x*muX) * sigmaX**2 + muX * (S2 - (x*sigmaX)**2))  / (S2)
+sigmaX_post = sigmaX * Sqrt(S2 - (x*sigmaX)**2) / Sqrt(S2)
+}}}
+donde:
+{{{
+S2 := (a*sigmaA)**2 + (b*sigmaB)**2 + (c*sigmaC)**2
+Dm := d  -a*muA - b*muB - c*muC
+}}}
+sustituyendo 'x' y 'X' por 'a', 'b' o 'c' y 'A', 'B' o 'C' respectivamente.