= Combinación de variables aleatorias =

== Combinación lineal de variables aleatorias normales ==


Un caso particular y especialmente común de la combinación de variables aleatorias es aquél 
en el que la restricción viene dada por un sistema de ecuaciones lineales. 
Este sistema de ecuaciones lineales habitualmente es compatible indeterminado, 
dando lugar a un espacio de soluciones con varios grados de libertad.

Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
}}}
donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
{{{
B · V = C
}}}
un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.

El objetivo es encontrar la solución {{{Z}}} que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector
de medias:
{{{
min. distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt[(Z-Mu)'·Inv[Sigma]·(Z-Mu)]
}}}

=== Solución determinista ===

Para una combinación lineal de variables aleatorias normales {{{V}}} la solución determinista {{{Z}}} 
que representa a las medias de la distribución a posteriori se obtiene como aquella solución:
{{{
B · Z = C
}}}
que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector de medias:
{{{
min. dist_M(Z, V) = Sqrt((Z-Mu)'·inv(Sigma)·(Z-Mu))
}}}

Para resolverlo planteamos el problema mediante el método de los 
[http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
{{{
min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Inv(Sigma)·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
}}}
donde {{{L(Z, Lambda)}}} es la función de Lagrange y {{{Lambda (mx1)}}} el vector de multiplicadores de Lagrange.

Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0
}}}
que es la restricción lineal sobre las variables y 
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0
}}}

Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
{{{
2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
}}}
y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
{{{
Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
}}}

Para ver algunos resultados utilizados en los cálculos véanse las siguientes
[wiki:Combinations/MathNotes#Derivaci%C3%B3nconmatrices notas matemáticas].

=== Solución completa ===
La solución de una combinación lineal de variables aleatorias normales es un nuevo conjunto de variables aleatorias normales:
{{{
W ~ Normal(Nu, Omega)
}}}
cuya media {{{Nu}}} viene dada por el resultado encontrado anteriormente conocido como solución determinista:
{{{
Nu = Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·(C-B·Mu)
}}}
Para la obtención de la matriz covarianza de la distribución a posteriori {{{W}}}, debemos detenernos en la 
ecuación anterior y observar que la solución es una combinación lineal de las variables de partida {{{V}}}:
{{{
W = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·V + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C
}}}
cuya media {{{Nu}}} es:
{{{
Nu = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)·Mu + Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·C
}}}
y cuya matriz de covarianza {{{Omega}}} puede obtenerse mediante:
{{{
Omega = (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B) · Sigma · (I-Sigma·B'·Inv(B·Sigma·B')·B)'
}}}