= Combinación de variables aleatorias =

== Combinación lineal de variables aleatorias normales ==

A continuación deducimos la solución a la combinación lineal de variables aleatorias normales.

Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
}}}
donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
{{{
B · V = C
}}}
un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.

El objetivo es encontrar la solución {{{Z}}} que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector
de medias:
{{{
min. distM(Z, Mu; Sigma) = Sqrt[(Z-Mu)'·Inv[Sigma]·(Z-Mu)]
}}}

Solucionamos el problema mediante el método de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
{{{
min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
}}}
donde {{{L(Z, Lambda)}}} es la función de Lagrange y {{{Lambda (mx1)}}} el vector de multiplicadores de Lagrange.

Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C = 0
}}}
que es la restricción lineal sobre las variables y 
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda = 0
}}}

Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
{{{
2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) = - B'·Lambda
Z-Mu = - 1/2 Sigma·B'·Lambda
B·(Z-Mu) = C-B·Mu = - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
Lambda = -2 Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
}}}
y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
{{{
Z = Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda = Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·(C-B·Mu)
}}}

== Nota Matemática ==

Se han hecho uso de algunos resultados de derivación matricial como:
{{{
d[X']/d[X] = I
d[A'·X]/d[X] = d[X'·A]/d[X] = A
d[X'·X]/d[X] = 2 X
d[X'·B·X]/d[X] = (B+B')·X =(si B es simétrica)= 2 B·X
}}}
donde {{{X}}} y {{{A}}} son matrices columna, {{{B}}} es una matriz cuadrada
e {{{I}}} es la matriz identidad.

Para obtener estos resultados puede hacerse la siguiente consideración:
{{{
d[f(X)]/d[X] = d/d[X] · f[X]
}}}
donde la derivada se puede ver como un producto matricial entre un operador
columna de derivadas:
{{{
d/d[X] = (d/dx1, d/dx2, ..., d/dxn)'
}}} 
y la matriz a derivar.