= Combinación de variables aleatorias =

== Solución determinista ==

Uno de los ejercicios más habituales por su sencillez es encontrar simplemente un valor determinista (un estadístico) para la combinación de variables.

El estadístico buscado podría ser la media, el valor más probable (la moda) o incluso la mediana, aunque en el caso de variables aleatorias normales estos tres coinciden.

Para un conjunto de variables normales la solución determinista buscada y denominada en algunos documentos como máximo-verosímil es aquélla que minimiza la [http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Mahalanobis distacia de Mahalanobis] al valor más probable o medio.

Sea la combinación de variables aleatorias: 
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
F(V)==0
}}}
la solución determinista buscada {{{Nu}}} minimiza la distancia:
{{{
distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
}}}
donde {{{V}}} representa al conjunto de variables aleatorias, {{{Mu}}} sus medias y {{{Sigma}}} su matriz de covarianza, {{{F(V)==0}}} son las restricciones sobre {{{V}}}, y {{{Nu}}} es el valor determinista buscado de la solución de la combinación.

=== Combinación lineal de variables aleatorias normales ===

A continuación deducimos la solución a la combinación lineal de variables aleatorias normales.

Sea {{{V}}} un conjunto de {{{n}}} variables aleatorias distribuidas como una normal multivariada:
{{{
V ~ Normal(Mu, Sigma)
}}}
donde {{{Mu (nx1)}}} es el vector de medias y {{{Sigma (nxn)}}} su matriz de covarianza, y 
{{{
B · Z = C
}}}
un sistema de {{{m}}} restricciones lineales sobre las variables, donde {{{B (mxn)}}} es la
matriz del sistema lineal y {{{C (mx1)}}} es su término constante.

El objetivo es encontrar la solución {{{Nu}}} que minimiza la distancia de Mahalanobis al vector
de medias:
{{{
min. distM(Nu, Mu; Sigma) = Sqrt((Mu-Nu)'·Sigma**-1·(Mu-Nu))
}}}

Solucionamos el problema mediante el método de los [http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange multiplicadores de Lagrange]:
{{{
min. L(Z, Lambda) = (Z-Mu)'·Sigma**-1·(Z-Mu) - Lambda·(B·Z-C) 
}}}
donde {{{L(Z, Lambda)}}} es la función de Lagrange y {{{Lambda (mx1)}}} el vector de multiplicadores de Lagrange.

Derivando respecto a {{{Z}}} y {{{Lambda}}} obtenemos:
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Lambda] = B·Z - C == 0
}}}
que es la restricción lineal sobre las variables y 
{{{
d[L(Z,Lambda]/d[Z] = 2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) + B'·Lambda == 0
}}}

Si despejamos {{{Lambda}}} de la segunda ecuación usando la primera:
{{{
2 Inv[Sigma]·(Z-Mu) == - B'·Lambda
Z-Mu == - 1/2 Sigma·B'·Lambda
B·(Z-Mu) == C-B·Mu == - 1/2 B·Sigma·B'·Lambda
Lambda == -2 Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
}}}
y sustituyendo de nuevo en la segunda ecuación y despejando {{{Z}}} encontramos:
{{{
Z == Mu - 1/2 Sigma·B'·Lambda == Mu + Sigma·B'·Inv[B·Sigma·B']·B·(Z-Mu)
}}}