= Modelos aditivos, multiplicativos y mixtos =

De forma general, los modelos puros (aditivos o multiplicativos) y los modelos mixtos (aditivo-multiplicativo) se representan:
{{{
#!LatexEquation
Output=Noise+Filter
}}}

Donde el filtro es la suma de términos explicativos, y si el ruido tiene presenta una estructura ARIMA llamamos residuos al ruido desestructurado:
{{{
#!LatexEquation
\begin{equation*}
\begin{split}
Filter&=\sum_{i}ExpTerm_{i}\\
Noise&=\frac{MA}{ARI}:Residuals
\end{split}
\end{equation*}
}}}

== Modelos aditivos ==

En el caso de los modelos aditivos el output se corresponde con las observaciones.
{{{
#!LatexEquation
Output=Observations=Noise+Filter
}}}

== Modelos multiplicativos ==

En el caso de los modelos multiplicativos el output se corresponde con la transformación de las observaciones, típicamente la transformación logarítmica.
{{{
#!LatexEquation
\begin{equation*}
\begin{split}
Output=Log(Observations)=Noise+Filter\\
Observations=e^{Noise+Filter}=e^{Noise}\times\prod_i e^{ExpTerm_i}
\end{split}
\end{equation*}
}}}

== Modelos aditivo-multiplicativo ==

En los modelos aditivo-multiplicativo algunos términos explicativos que tienen efectos aditivos y otros tienen efectos multiplicativos sobre las observaciones. Los términos explicativos con efecto multiplicativo forman el filtro multiplicativo (aunque se por compatibilidad con casos anteriores se le llama simplemente filtro: {{{Filter}}}), y los que tienen efectos aditivos conforman el filtro aditivo ({{{AdditiveFilter}}}). 
El modelo se plantea:
{{{
#!LatexEquation
\begin{equation*}
\begin{split}
Output&=Log(Observations-AdditiveFilter)=Noise+Filter\\
Filter&=\sum_{Multiplicative\ Terms}ExpTerm_i\\
AdditiveFilter&=\sum_{Additive\ Terms}ExpTerm_i
\end{split}
\end{equation*}
}}}

Una forma de resolver los modelos mixtos, se basa en la aproximación:
{{{
#!LatexEquation
Log(1+x)\approx x, \ \mid x \mid \ll 1
}}}

De donde se deriva a:
{{{
#!LatexEquation
\begin{equation*}
\begin{split}
Log(Observations-AdditiveFilter)&=Log(Observations\times(1-\frac{AdditiveFilter}{Observations}))\\
&=Log(Observations)+Log(1-\frac{AdditiveFilter}{Observations})\\
&\approx Log(Observations) - \frac{AdditiveFilter}{Observations},\ \mid ObsFilter \mid  \ll \mid Observations \mid 
\end{split}
\end{equation*}
}}}

Tomando el error como:
{{{
#!LatexEquation
error=\frac{Log(1-\frac{AdditiveFilter}{Observations})+\frac{AdditiveFilter}{Observations}}{Log(1-\frac{AdditiveFilter}{Observations})}
}}}
Entonces, por ejemplo, para:
{{{
#!LatexEquation
\mid\frac{AdditiveFilter}{Observations}\mid=0.0983
}}}
se comete un error del 5%.

Actualmente, se muestra un mensaje de advertencia cuando se encuentra un error superior al 2%, se informa por cada submodelo cual es el mayor error cometido y cuando éste supera el 5% la estimación se considera no válida.

== Generalización ==

Generalizando, se introduce el concepto: '''Observaciones Filtradas''' ({{{FilteredObservations}}}), donde:
{{{
#!LatexEquation
FilteredObservations=Observations-AdditiveFilter
}}}

Y para los modelos puros (Aditivos o Multiplicativos), se verfica:
{{{
#!LatexEquation
\begin{equation*}
\begin{split}
AdditiveFilter&=0\\
FilteredObservartions&=Observations\\
\end{split}
\end{equation*}
}}}


== Uso en MMS ==

En MMS el manejo de términos con efectos aditivos o multiplicativos se reduce a su declaración y luego recuperar los resultados de las estimaciones o previsiones.

=== Declaración de términos explicativos aditivos o multiplicativos ===

Al crear un término explicativo en MMS se puede declarar si tiene un efecto aditivo o no (y por lo tanto tendrá un efecto multiplicativo) sobre las observaciones.

Para crear un término explicativo con efecto aditivo, especifique: {{{ Real _.isAdditive = 1 }}}

Para crear un término explicativo con efecto multiplicativo, o bien omita este campo (pues tiene su valor por omisión es 0) o especifique: {{{ Real _.isAdditive = 0 }}}

=== Recuperación de los resultados de la estimación ===

A la clase MMS::@Submodel.Results se le adicionan los métodos para obtener el filtro aditivo {{{GetAdditiveFilter(Real void)}}}, para obtener las observaciones filtradas {{{GetFilteredObservations(Real void)}}}, y para calcular la descomposición de las observaciones filtradas {{{GetFilteredObservations.Decomposition(Set decomposition)}}}.

=== Recuperación de los resultados de la previsión ===

A la clase MMS::@Submodel.Forecast se le adicionan los métodos para obtener la previsión del filtro aditivo {{{GetAdditiveFilter.Forecast(Real void)}}} y para obtener las observaciones filtradas {{{GetFilteredObservations(Real void)}}}.

Un ejemplo simple del uso de modelos aditivo-multiplicativo en {{{MMS/Samples/Basics/F.prj}}}